Nombre complexes/ ensembles de pts

[dim-nba]

Bonsoir tout le monde! Alors j'aimerais obtenir de l'aide sur un exercice à rendre pour début janvier.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O;u;v). À tout point M d'affixe z
on associe le point M' d'affixe z '=(z^3)/1+|z|^3
1. Exprimer le module et un argument de z' en fonction du module et d'un argument de
z.
2. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Quel est l'ensemble des points M' lorsque
le point M décrit le cercle C ?
3. Soit f la fonction définie sur [0;+;)[ par f(x)=(x^3)/1+x^3
Étudier les variations de la fonction f sur son ensemble de définition.
4. Soit T le point d'affixe T(1+i)
a) Quel est l'ensemble des points M' lorsque le point M décrit le segment [OT]?
b) Quel est l'ensemble des points M' lorsque le point M décrit la demi-droite [OT)?
5) Quel est l'ensemble des points M' lorsque le point M décrit le plan complexe?

J'suis coincer a partir de la 4 a . Une piste pour être débloquer serait cool . :) merci
voici mes pistes : T(1+1) |1+i|=racine 2
Arg z= Arg(1+i)=pi/4 ...

[Ana_M]

tu as fait comment pr la question 2 ?

[dim-nba]

tu as fait comment pr la question 2 ?

M £ C |z|=1 et Arg z £]-pi;pi]
|z'|=|z^3|/1+|z|^3 = 1/1+1=1/2
M' appartient au Cercle de centre O et de rayon 1/2 ; or Arg z'=3 Arg Donc M' tourne trois plus rapidement que M.

[Ana_M]

Donc tu as caractérisé tes éléments de départ ?
dnas la 4 a) il faut commencer pareil, c'est à dire caractériser les complexes qui sont sur [OT]...
Qu'ont-ils de constant ?

[dim-nba]

Donc tu as caractérisé tes éléments de départ ?
dnas la 4 a) il faut commencer pareil, c'est à dire caractériser les complexes qui sont sur [OT]...
Qu'ont-ils de constant ?

.Alors je met tout mes résultats auparavant trouvé =) . pour mieux comprendre !
1) z'=(z^3)/(1+|z|^3) Arg z'=Arg(z^3)/Arg(1+|z|^3)
|z'|=|(z^3)/(1+|z|^3)| Arg z'=Arg(z^3)-Arg(1+|z|^3)
|z'|=|z^3|/|1+|z|^3| or 1+|z|^3 est un réel strictement positif
|z'|=|z^3|/1+|z|^3 Donc Arg(1+|z|^3)=0 [2pi]
Donc Arg z'=3 Arg z [2pi].
2) M £ C |z|=1
Arg z £]-pi;pi]

|z'|=|z^3|/1+|z|^3 = 1/1+1 =1/2
M' appartient au Cercle de centre 0 et rayon 1/2, or Arg z'=3 Arg z donc M' tourne trois fois plus rapidement que M.

3) f(x)=(x^3)/1+x^3 f est défini sur IR-{-1]}; f est continue et dérivable :
f'(x)=(3x²(1+x^3)-x^3(3x²))/(1+x^3)²
f'(x)=(3x²+3x^5-3x^5)/(1+x^3)²
f'(x)=3x²/(1+x^3)²

x | 0 +infini
3x² | + fonction ^2>0 sur IR
(1+x^3)²| +
f'(x) | +
f(x) | 0+ croissante 1

f(x)=x^3/1+x^3 =(1)/(1/x^3 +1)
Lim...

4)a) T(1+i)
|1+i|=sqrt(2)
|z|=x x£[0;sqrt(2)]
Arg z=Arg(1+i)=/4
|z'|=(sqrt(2)^3)/1+sqrt(2)^3= (8-2sqrt(2))/7
or Arg z'= 3Arg z
Arg z'= 3 *pi/4
Arg z'=3pi/4

M' décrit le segment OT' et forme un 3 pi/4.


Voila où j'en suis .

[Ana_M]

Bon pour la 4) a) je n'ai pas bien compris ce que tu as fait...?
qu'est-ce que T' ?

[dim-nba]

Bon pour la 4) a) je n'ai pas bien compris ce que tu as fait...?
qu'est-ce que T' ?

Bin j'ai pris notre module z' trouvé question 1
|z'|=|z^3|/1+|z|^3
or module de z : |z|=sqrt(2) car T(1+i) module ou rayon=sqrt 2 et l'angle Pi/4

on remplace |z'|=sqrt(2)^3 / 1+ sqrt(2)^3 = 8-2sqrt(2)/7

on connait aussi Arg z'=3 Arg z
Arg z'= 3 *Pi/4
Arg z'=3Pi/4

ma conclusion je ne vois pas cmt l'exprimer apart que l'ensemble des pts M' appartient au rayon 8-2sqrt(2)/7 d'angle 3Pi/4

[Ana_M]

Oui mais c'est le point T qui a pr module ce |z| dont tu parles...
il ne faut pas oublier que le point M décrit tout le segment [OT]...
donc :
-quelles valeurs peut prendre |z| ?
- quelles valeurs peut prendre arg z ?

[dim-nba]

Oui mais c'est le point T qui a pr module ce |z| dont tu parles...
il ne faut pas oublier que le point M décrit tout le segment [OT]...
donc :
-quelles valeurs peut prendre |z| ?
- quelles valeurs peut prendre arg z ?

on nomme T' ce qui va représenter le module|z'| ainsi que son argument= 3pi/4
Ainsi M' décrit le segment OT' d'argument 3Pi/4 et de rayon 8-2sqrt(2)/7

?

[Ana_M]

ne mélange pas tout, si je te pose certaines questions c'est pas pour rien :

on reprend.

Soit M d'affixe z.
M décrit [OT] donc :
que peux tu dire de :
- |z|
- arg z

?

[dim-nba]

Oui mais c'est le point T qui a pr module ce |z| dont tu parles...
il ne faut pas oublier que le point M décrit tout le segment [OT]...
donc :
-quelles valeurs peut prendre |z| ?
- quelles valeurs peut prendre arg z ?

Je ne vois pas :triste:
0<ou égale |z|<ou égale sqrt(2)
Arg z= Pi/4
?

[Ana_M]

Parfait.
Tu as donc :
(le 0 est superflu, car on sait qu'un module est positif)
et

Donc maintenant en utilisant les relations, comme tu l'avais fait entre et , tu peux en déduire dans quelle tranche est et que vaut (mais ça tu l'avais déjà fait).

[dim-nba]

Pouvez vous m'exprimer votre piste en m'expliquant ?

[dim-nba]

Parfait.
Tu as donc :
(le 0 est superflu, car on sait qu'un module est positif)
et

Donc maintenant en utilisant les relations, comme tu l'avais fait entre et , tu peux en déduire dans quelle tranche est et que vaut (mais ça tu l'avais déjà fait).

D'accord ! =) merci bcp !
Je vais m'attaquer à la suite maintenant !

[Ana_M]

EDIT : OK fais la suite hihi ;)

[dim-nba]

Si un dernier truc pour la justification de module de |z'| en fonction de |z|
j'trouve un module supérieur ou égale ... alors que sa devrait être l'inverse .

0|z|0<|z|^3 < 2sqrt(2) +1
|z|^3+1 < 2sqrt(2)+1 *1/x
1/|z|^3+1 > 1/2sqrt(2)+1 * |z^3|
|z^3|/|z|^3+1 > |z^3|/2sqrt(2)+1

je ne vois pas mon erreur car fonction inverse on change le signe

[Ana_M]

et bien ce n'est peut etre pas étonnant, à priori on ne sait pas du tout ce que fait la transformation sur un nb complexe z....

[dim-nba]

et bien ce n'est peut etre pas étonnant, à priori on ne sait pas du tout ce que fait la transformation sur un nb complexe z....

Pour la 4.b c'est le même raisonnement que la 4.a sauf que le résultat obtenue pour les pts M' sont situé sur une demi droite et non un segment ?

[dim-nba]

Pour la 4.b c'est le même raisonnement que la 4.a sauf que le résultat obtenue pour les pts M' sont situé sur une demi droite et non un segment ?

Je ne vois pas :triste:

[Ana_M]

Oui... ! ils ne seront pas limités en module !