Théorème d’Euler.

[rozie]

bonjour,

j'aimerai un peu d'aide pour la fin de mon exercice svp:
(c'est sur le e) que je bloque)



Soient A;B;C;D quatre points de l'espace. Montrer que l'on a : AB²+CD²-BC-²AD² = 2 AC.DB

Applications.
a) Dans un tétraèdre ABCD, montrer que AC est orthogonal à BD si et seulement si AB²+CD² =BC²+AD².

b) Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à deux fois la somme des carrés
des longueurs des côtés.

c) Dans un triangle ABC, on note a = BC, b = AC, c = AB. Soit A' le milieu de B;C et sa = AA'. Soit D le
symétrique de A par rapport à A'. Observer que ABCD est un parallélogramme et déduire de la question précédente
la relation sa²=1/4 (2b²+2c²-a²).

d) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Montrez que alors (AG) est orthogonale à (BG) si et seulement si a²+b² = 5c².

e) Théorème d'Euler. Dans un quadrilatère ABCD où les médianes sont (MN) et (PQ), montrer que l'on a
AC²+BD² = 2(MN²+PQ²)



Pour le e),
J'ai essayé par plusieurs méthodes sans y arriver;

j'ai emplacer MN et PQ par
MN²=(MB+BC+CN)²=(1/2AB+BC+1/2DC)²
PQ²=(1/2AD+AB+1/2BC)²
puis j'ai remplacé
AC²=(AB+BC)²
BD²=(BC²+CD)²


Merci d'avance.