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Vieux 26/10/2011, 15h58
aure33
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Par défaut Exercice de math dm de 3eme

Bonjour a tous, j'ai un exercice de maths mais je ne comprend pas vraiment l'exercice suivant :
Image de l'exercice (désolé l'image est a 90°)


aure33 est déconnecté  
Vieux 26/10/2011, 22h30
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a) On sais que ABCD est un rectangle.
Ainsi : \hat{DAB}, \hat{ABC}, \hat{BCD} et \hat{CDA} sont des angles droits (90°).
De ce fait :
- QAM est un triangle rectangle en A (car Q\in[AD] et M\in[AB])
- MBN est un triangle rectangle en N (car M\in[AD] et N\in[BC])
- NCP est un triangle rectangle en C (car N\in[BC] et P\in[CD])
- PDQ est un triangle rectangle en D (car P\in[CD] et Q\in[AD])
Or : l'aire d'un triangle rectangle est calculée à partir du produit des côtés formant l'angle droit, le tout divisé par deux.
De façon moins verbale, un triangle rectangle ABC, rectangle en A, a pour aire : A=\frac{AB.AC}{2}.
Ainsi nous avons :
A_{QAM}=\frac{AQ.AM}{2}
A_{MBN}=\frac{BM.BN}{2}
A_{NCP}=\frac{CN.CP}{2}
A_{PDQ}=\frac{PD.DQ}{2}
Or : AQ = AD-QD = BC-QD = 1 cm.
BM = AB-AM = 3 cm.
CN = AQ = 1 cm, car AD = BC et QD = BN.
DP = BM, car AB = DC et AM = PC.
Ainsi on obtient au final :
A_{QAM}=\frac{3}{2} cm^2
A_{MBN}=\frac{3}{2} cm^2
A_{NCP}=\frac{3}{2} cm^2
A_{PDQ}=\frac{3}{2} cm^2

De ce fait A_{MNPQ}=A_{ABCD}-4.A_{QAM}, étant donnée que l'aire des triangles sont identiques.
Or : A_{ABCD}=AB.AD=4x6=24 cm^2.
On obtient alors : A_{MNPQ}=24-4.\frac{3}{2}=18 cm^2

b) A la question précédente, nous avons établit :
A_{QAM}=\frac{AQ.AM}{2}
A_{MBN}=\frac{BM.BN}{2}
Or AQ = AD-x = 4-x
AM = x
MB = AB-x = 6-x
BN = x
Ainsi on obtient :
A_{QAM}=\frac{(4-x).x}{2}
A_{MBN}=\frac{(6-x).x}{2}

c) On pose f(x) l'aire du quatrilatère MNPQ.
f(x)=A_{ABCD}-2.(A_{QAM}+A_{MBN}), car QAM et NPC sont isométriques, ainsi que MBN et PDQ. [isométrique = de même mesure].
Nous avons établis que A_{ABCD}=24 cm^2 et que A_{QAM}=\frac{(4-x).x}{2}, A_{MBN}=\frac{(6-x).x}{2}.
Donc : f(x)=24-2.(\frac{(4-x).x}{2}+\frac{(6-x).x}{2})
On développe f(x)=24-2.(\frac{4x-x^2}{2}+\frac{6x-x^2}{2})
On réduis f(x)=24-2.(5x-x^2)
On développe, attention au signe MOINS f(x) = 24-10x+2x^2
On organise f(x)=2x^2-10x+24.

d) (1) Non, en classe de 3ème je ne sais pas encore résoudre des équations du second degré (avec des x²).

(2) Bon après remplir le tableau tu remplaces x par les valeurs de la ligne du haut dans l'expression de f(x).

(3) Représenter graphiquement c'est placé l'ensemble des points de coordonnée (x,f(x)), donc ligne du haut du tableau en abscisse, ligne du bas en ordonnée.

(4) Sur ton graphique tu traces une droite parallèle à l'axe des abscisses passant par 13.5 en ordonnée.
Et tu regardes les abscisses des points de l'intersection de la courbe de ta fonction avec la droite tracée, c'est les solutions.

(5) L'aire minimale, c'est la plus petite valeur positive que prend f, donc l'abscisse du point le plus bas dans la partie supérieure du graphique.
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Vieux 27/10/2011, 19h30
aure33
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Merci beaucoup :)
aure33 est déconnecté  
Vieux 27/10/2011, 19h44
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Merci beaucoup :)


Avec plaisir :)
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