Equations du 4ème degré et fonctions dérivées [1ère S]

par **Anonyme** » 30 Déc 2008, 18:27

Bonjour à tous,

Je bloque sur deux exercices.
Les voici :

I]
1) On souhaite résoudre l'équation x^4 - x^3 + 5x² - x + 1 = 0 notée (E)
a. On pose X = x + (1/x). Montrer que si x est solution de (E), alors X² - X + 3 = 0
b. En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution réelle.
2) Sauriez-vous résoudre l'équation x^4 + 4x^3 - 6x² + 4x + 1 = 0

1)
a. Pour la première, j'ai fais la chose suivante : j'ai remplacé X par x + (1/x) dans l'expression X² - X + 3 = 0
On retrouve effectivement en partie l'équation de départ que l'on veut résoudre : (x^4 - x^3 + 5x² - x + 1)/x² = 0. Je ne sais pas où je dois m'arrêter pour bien prouver la 1) a. Pouvez-vous me dire ce que dois rajouter (si besoin) ?
b. J'ai mi que delta < 0 dans l'expression X² - X + 3 = 0 et que donc l'équation x^4 + 4x^3 - 6x² + 4x + 1 = 0 n'avait aucune solution.

2) Alors la 2)... J'ai pris l'équation donnée et je l'ai divisé par x² :
On tombe alors sur :
x² + 4x - 6 + (4/x) + (1/x²) = 0
J'ai ensuite regroupé : (x² + (1/x²)) + (4x + (4/x)) - 6 = 0
J'ai posé X = x + (1/x) et l'on trouve X² + 4X - 8 = 0
Voilà et là je ne sais plus car le delta est positif. Donc il y a deux solutions X1 et X2. Ensuite je sais qu'il faut poser X1 = ... et X2 = ... pour pouvoir véritablement trouver les solutions de la "vrai" équation.

S'il vous plaît, dites-moi déjà si ce que j'ai fais est bon car à force d'y réfléchir, je craque vraiment. Puis pour la 2, je pense qu'il faut faire ça mais je suis bloqué.
Merci d'avance.

II]

Le deuxième est un sujet type BAC.
On me demande de dire si les affirmations sont justes ou fausses dont deux où je n'y arrive pas très bien.
* Si f ' > ou = 0 sur R*, alors f est croissante sur R*.
On serait tenté de dire que c'est juste mais d'après moi il y a un piège. Si ce n'est pas le cas, je dois fournir un contre exemple. Par contre, si c'est juste je dois faire une démonstration.

* Si f est une fonction paire dérivable sur R, alors sa dérivée f ' est impaire.

J'ai mi :
Une fonction est paire ssi elle est du type : x^n ou n appartient aux nombres entiers pairs.
Or si n appartient aux nombres entiers pairs, alors n-1 appartient au nombre entiers impairs. Et on sait que lorsque l'on dérive on "pair" un degré. Donc la fonction est forcément impaire.
Je sais que ce n'est pas du tout rigoureux donc si vous avez mieux à me proposer, ce serait très sympa.

Merci pour votre aide...

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2008, 18:32

Salut
Pour le I c'est bon
Une fois que tu as trouvé X1 et X2, il suffit de résoudre x+1/x=X1 puis x+1/x=X2 pour trouver les solutions de l'équation du 4ème degré

par **Anonyme** » 30 Déc 2008, 18:41

Ok. Je résouts X1 = x + (1/x)
X1 = -2-2V3
donc -2-2V3 = x + (1/x)
qui est égal à : (-x² + (-2-2V3)x - 1)/x = 0
A/B = 0 ssi A=0 et B différent de 0.
A = 0
-x² + (-2-2V3)x - 1 = 0
Je trouve comme delta 12 + 8V3.
Comment trouver x1 et x2 sachant que les formules sont (-b + V(delta))/2a et (-b - V(delta))/2a ???? Cela reviendrait à mettre une racine sous une autre racine.
Je suis vraiment bloqué alors que je suis si proche du but.

Peux-tu m'aider ? Ce serait vraiment très sympa...

par **XENSECP** » 30 Déc 2008, 18:57

Tu bloque où ? C'est le fouillis :S

par **Kah** » 30 Déc 2008, 19:05

salut.
Pour la 2, bonne demarche, mais elle est fausse:
en posant X=x+1/x, on a pas X^2=x^2+1/x^2, voire identité remarquable.
Essayes plutôt de trouver une solution évidente, genre 1, 2, -1, -2 etc.Imaginons qu'une solution évidente soit 1, alors tu pourra factoriser ton membre de gauche pas (x-1).

PS: revois la définition de fonctions paires et impaires.

par **Anonyme** » 30 Déc 2008, 19:07

Attendez je réfléchit à tous ce que vous venez de me dire puis je revient.

par **Anonyme** » 30 Déc 2008, 19:11

X² - 2 = x² + (1/x²) ? Non ?
4X = 4x + (4/x)
DONC on retrouve quand même lorsque l'on regroupe X² + 4X - 8 = 0.
S'il vous plaît, ne m'abandonner pas maintenant.
Merci de me répondre.

par **Anonyme** » 30 Déc 2008, 19:41

Pouvez-vous m'aidez s'il vous plaît ?
Merci beaucoup.

par **oscar** » 30 Déc 2008, 20:07

Bonsoir

Sujet déja abordé le 23/12 sur ce forum
Ce sont des équations symétriques 1) x^4 -x² +5x² -x+1=0
On divise par x²=>
x² -x +5 -1/x +1/x² =0
ON groupe pour avoir une inconnue auxiliaire x + 1/x = et (x + 1/x) ² = X² -2
( x² +1/x² ) - ( x+1/x) +5=0

X² - 2 - X + 5 =0
X² -X +3 =0 à résoudre
Tu peux continuer

par **Anonyme** » 30 Déc 2008, 20:18

Oui sujet déjà abordé et je le remet car je n'y arrive pas.
Pour la première équation, j'ai trouvé. c'est-à-dire pour x^4 -x² +5x² -x+1= 0
C'est la deuxième maintenant qui m'intéresse :

x^4 + 4x^3 - 6x² + 4x + 1 = 0
J'ai presque tout trouver.
J'ai fais ce que tu as dit et j'ai trouvé X² +4X - 8= 0
J'ai trouvé le delta (48) qui est positif.
J'ai trouvé 2 racines : -2-2V3 et -2+2V3
Je n'arrive pas à résoudre maintenant les équations -2-2V3 = x + (1/x) et -2+2V3 = x + (1/x). C'est dommage car j'ai presque fini.

Merci de m'aider.

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2008, 21:29

5u1rAm a écrit:Ok. Je résouts X1 = x + (1/x)
X1 = -2-2V3
donc -2-2V3 = x + (1/x)
qui est égal à : (-x² + (-2-2V3)x - 1)/x = 0
A/B = 0 ssi A=0 et B différent de 0.
A = 0
-x² + (-2-2V3)x - 1 = 0
Je trouve comme delta 12 + 8V3.
Comment trouver x1 et x2 sachant que les formules sont (-b + V(delta))/2a et (-b - V(delta))/2a ???? Cela reviendrait à mettre une racine sous une autre racine.
Je suis vraiment bloqué alors que je suis si proche du but.

Peux-tu m'aider ? Ce serait vraiment très sympa...

Oui c'est bon
Quel est le pb de mettre une racine sous une racine ?

par **oscar** » 31 Déc 2008, 11:44

Bonjour

Tout est bon a) x+ 1/x = -2+V3

x² + (2 -v3) x +1 =0 ( x#0)

D = 4-4V3 +3 -4 = 3-4V3 négatif.. pas de solution

b) x+1/x =-2-v3 ^m méthode

Bon réveillon

Equations du 4ème degré et fonctions dérivées [1ère S]

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