Un probleme de cercle

[miikou]

Bonjour,

On considere un cercle de rayon R
quel est le nombre maximum de cercles de rayon r

[miikou]

c'est pas interessant messieurs ?

[Sve@r]

Bon, allez, base de travail
La surface du grand cercle est pi R²
Celle du petit cercle est pi r²
Le nombre "maximal" ne pourra donc pas dépasser R/r...

[miikou]

lol oui, mais quelque chose de plus fin encore .. ?

[Ben314]

Perso, effectivement, l'énoncé m'attire moyen... (beaucoup de cas à prendre en ligne de compte)
Pour visualiser plus simplement, je reformulerais bien le problème sous la forme équivalente :
"Quel est le diamètre minimum D d'un ensemble formé de n disques de rayon 1 disjoints"
Le "meilleur" rangement de tels disques (dans une surface sans bords) consiste à mettre leurs centre sur les cotés d'un pavage par des triangles équilatéraux de coté 1, mais ici, il y a des 'effets de bord' (pour n=4, il me semble qu'il vaut mieux les mettre 'en carré')
A mon avis, lorsque n->oo, D est équivalent (au sens mathématique) à la meilleure soluce sur le pavage... (i.e. le disque 'occupe' en fait la place de l'hexagone circonscrit)

[scelerat]

Pour R/2 < r < R, je sais repondre.
Pour R/(1+2/sqrt(3)) < r <= R/2 aussi.
Meme pour R/(1+sqrt(2)) < r <= R/(1+2/sqrt(3)) .
J'ai donc resolu dans la majorite des cas :we:

[ffpower]

Et moi je saurais donné une estimation assymptotique quand r est trés petit devant R. Donc c est bon, ca fait tous les cas ca non? :we:

[miikou]

personellement je trouve cela interessant, mais apparement ce n'est pas le cas de tt le monde... mieu vaut parfois ne pas repondre

[Ben314]

J'avoue que le cas n=5 ne me parrait pas totalement trivial (quelle est la meilleure disposition des disques ?)

[scelerat]

J'avoue que le cas n=5 ne me parrait pas totalement trivial (quelle est la meilleure disposition des disques ?)

J'ai pris 5 pieces de 5 centimes, je les ai mises en pentagone regulier, je ne vois pas comment les deplacer sans augmenter le rayon du cercle circonscrit.

[Ben314]

J'ai pris 5 pieces de 5 centimes, je les ai mises en pentagone regulier, je ne vois pas comment les deplacer sans augmenter le rayon du cercle circonscrit.

J'ai aussi l'impression qu'il y a pas mieux (le coté 'gonflant' du casse tête c'est : si on doit faire une preuve pour chaque n, on est pas sorti...)
Je pense que pour n=6 et 7, c'est le 'pavage' triangle équilatéral qui est le meilleur (pas complétement clair pour 6...) donc on en est à 8...

[miikou]

salut,

je voulais juste preciser que je ne sait pas si ce probleme est ouvert ou non ..
peut etre que dominique pourrait venir nous eclairer, ca doit lui rappeler qq chose loptmisation d'un volume par des spheres ...

[ffpower]

A mon avis, c'est soit ouvert, soit très compliqué :we:

[scelerat]

J'ai aussi l'impression qu'il y a pas mieux (le coté 'gonflant' du casse tête c'est : si on doit faire une preuve pour chaque n, on est pas sorti...).

Pour 5, il n'y a pas de difficulte a montrer que les cinq doivent toucher le cercle exterieur. Pour 6 et 7, il en faut au plus une qui ne touche pas le cercle, ca doit aussi se montrer facilement. Pour 8, c'est plus costaud, mais je pense qu'on prend 4 au centre, et une dans chaque "creux" exterieur.
Pour 9 (j'ai justement 9 pieces de 5 centimes dans mon porte-monnaie), j'en mets 8 en cercle, une a l'interieur, et je regarde si je peux gagner en en prenant une a la peripherie et en la ramenant a l'interieur, visiblement non, il faut ecarter les voisines. Pour 10 je vous dirai (peut-etre !) quand j'aurai emprunte 5 centimes a mon collegue de bureau.

[Galax]

Pour 8, l'heptagone avec une au milieu me semble plus judicieux

[Ben314]

Pour scelerat : tu devrais prendre des piéces de deux euros (on voit mieux) puis expliquer a tes collègue qu'il y a une conjecture super importante que tu doit résoudre portant sur une disposition de... mettons 50 cercles (enfin... pour commencer) :zen:

[laquestion]

est -ce que la meilleure solution presente une symetrie ?

[Sve@r]

est -ce que la meilleure solution presente une symetrie ?

C'est délicat de dire ça mais j'ai l'impression que oui. Bon, il arrive parfois qu'en mathématiques nos impressions soient fausses mais je voudrais faire un parallèle avec un problème qui a des similitudes: trouver le parallélogramme qui, pour un périmètre donné, présente la plus grande surface. On trouve rapidement que c'est un carré, parallélogramme qui est le plus symétrique dans toutes les directions. Et donc ici aussi, à mon avis il faut garder la plus grande régularité (le pentagone pour N=5, le triangle équilatéral pour N=6, etc...)

[laquestion]

C'est délicat de dire ça mais j'ai l'impression que oui. Bon, il arrive parfois qu'en mathématiques nos impressions soient fausses mais je voudrais faire un parallèle avec un problème qui a des similitudes: trouver le parallélogramme qui, pour un périmètre donné, présente la plus grande surface. On trouve rapidement que c'est un carré, parallélogramme qui est le plus symétrique dans toutes les directions. Et donc ici aussi, à mon avis il faut garder la plus grande régularité (le pentagone pour N=5, le triangle équilatéral pour N=6, etc...)

en fait j'aurais du dire, est-ce que une des meilleures solutions est symetrique.

c'est vrai que souvent les probleme d'optimisation et les symetries sont liées.
il y a peut etre des théorème qui regles certain cas, je n'en ai jamais rencontré et ça serait drole d'en trouver.

[laquestion]

bonjour,je voudrais tenter quelque chose avec le théorème des résidus. quelqu'un pourrait-il me le rappeler ?