DM de maths sur les suites

[Jean-Gonzague]

Bonjour à tous :)
Avant les vacances, nous avons abordé le chapitre sur les suites, mais étant souvent absente à cause de problèmes de santé, j'ai récupéré les cours mais je galère vraiment en ce qui concerne les exercices...
Sachant que la fin de l'année approche et que mon bulletin trimestriel est un peu à revoir... j'aurais voulu savoir si vous pouviez m'aider pour un exercice, ou m'expliquer comment on peut démontrer cela.

Voici l'exerice:

Sur une droite graduée, on considère le point A(0) d'abscisse x(0) et le point A(1) d'abscisse x(1).
Soit A(2) le milieu du segment [A0;A1], A(3) le milieu du sgment [A1;A2] et de façon générale A(n+2) le milieu du segment [An;An+1]
On notera xn l'abscisse du point A(n).

Le but de l'exercice est d'étudier le comportement des points An lorsque n tend vers +infini en étudiant la suite (xn).

1) Déterminer x(2) en fonction de x(0) et x(1)

2) Exprimer x(n+2) en fonction de x(n) et x(n+1)

3) On considère les suites (Un) et (Vn) définies dans N par:
Un= 2x(n+1)+x(n) et V(n)= -x(n+1)+x(n)
Exprimer U(n+1) en fonction de U(n) et en déduire l'expression de V(n) en fonction de n et de V(0)

4) Exprimer V(n+1) en fonction de V(n) et en déduire l'expression de V(n) en fonction de n et de V(0)

5) Vérifier que pour tout entier naturel n: x(n+1)=1/3(Un-Vn) et en déduire l'expression de x(n) en fonction de n, x(0) et x(1)

6) Que vaut la limite que x(n) quand n tend vers +infini?

7) En déduire que la suite des points (An) se rapproche du point G, barycentre des points pondérés (A0;1)(A1;2)


Voilà, merci beaucoup...

NB: ce qui est entre parenthèse, c'est en indice