Devoir Maison Nombre Complexe-L'INVERSION

[MrLyceen007]

Bonjour/Bonsoir à tous,

J'ai un devoir de maths à rendre à la rentrée et j'arrive pas vraiment à le comprendre.

J'ai pu repondre à la premiere partie de la PREMIERE QUESTION mais le reste, je n'y arrive pas du tout.

Voici l'enonce:

Le plan complexe ou d'Argand-Cauchy est rapporté au repère orthonormé direct (O,,) d'unité graphique 2 cm. On note f l'application directe du plan qui à tout point M d'affixe z du plan privé du point O associe le point M' du plan d'affixe z' tel que :
z' = f(z) = 1/(z barre) où (z barre) est le conjugué de z.

1) Montrer que : z' = z/(|z|2), en déduire que les points O, M et M' sont alignés.

2) Déterminer l'ensemble des points invariants par f. C'est-à-dire des points dont l'affixe z vérifie z = f(z).

3) On appelle A et B les points d'affixes respectives zA = -1 et zB = i et C le cercle de diamètre [AB].
(a) Montrer que A et B appartiennent à
(b) Déterminer l'affixe du point E, milieu du segment [AB]
(c) Déterminer une équation cartésienne du cercle C
(d) Soit E' l'image du point E, montrer que E' C

4) Le point M d'affixe z = x+iy étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' = x'+iy' par l'application f.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB) en déduire l'affixe des points de la droite (AB) en fonction de x
(b) On pose OM2 = k, exprimer k en fonction de x
(c) Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k)
(d) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point M' en fonction de M

5) Faire une figure complète sur GéoGébra et vérifier que l'image d'un point M quelconque de (AB) se trouve sur le cercle C.

Remarque : L'inversion est une application géométrique du plan dans lui-même, elle a la particularité entre autre de transformer des droites en des cercles, et donc des droites parallèles en des faisceaux de cercles.

VOICI CE QUE J'AI FAIS :

1) |z| = (z*zbarre)
donc (|z|)2 = z*zbarre
z barre = (|z|)2/z
z' = 1/(zbarre)
donc z' = 1/((|z|)2/z)
donc z' = z/(|z|)2

Pour le reste je bloque. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance.
MrLyceen007

[Carpate]

Bonjour/Bonsoir à tous,

J'ai un devoir de maths à rendre à la rentrée et j'arrive pas vraiment à le comprendre.

J'ai pu repondre à la premiere partie de la PREMIERE QUESTION mais le reste, je n'y arrive pas du tout.

Voici l'enonce:

Le plan complexe ou d'Argand-Cauchy est rapporté au repère orthonormé direct (O,,) d'unité graphique 2 cm. On note f l'application directe du plan qui à tout point M d'affixe z du plan privé du point O associe le point M' du plan d'affixe z' tel que :
z' = f(z) = 1/(z barre) où (z barre) est le conjugué de z.

1) Montrer que : z' = z/(|z|2), en déduire que les points O, M et M' sont alignés.

2) Déterminer l'ensemble des points invariants par f. C'est-à-dire des points dont l'affixe z vérifie z = f(z).

3) On appelle A et B les points d'affixes respectives zA = -1 et zB = i et C le cercle de diamètre [AB].
(a) Montrer que A et B appartiennent à
(b) Déterminer l'affixe du point E, milieu du segment [AB]
(c) Déterminer une équation cartésienne du cercle C
(d) Soit E' l'image du point E, montrer que E' C

4) Le point M d'affixe z = x+iy étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' = x'+iy' par l'application f.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB) en déduire l'affixe des points de la droite (AB) en fonction de x
(b) On pose OM2 = k, exprimer k en fonction de x
(c) Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k)
(d) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point M' en fonction de M

5) Faire une figure complète sur GéoGébra et vérifier que l'image d'un point M quelconque de (AB) se trouve sur le cercle C.

Remarque : L'inversion est une application géométrique du plan dans lui-même, elle a la particularité entre autre de transformer des droites en des cercles, et donc des droites parallèles en des faisceaux de cercles.

VOICI CE QUE J'AI FAIS :

1) |z| = (z*zbarre)
donc (|z|)2 = z*zbarre
z barre = (|z|)2/z
z' = 1/(zbarre)
donc z' = 1/((|z|)2/z)
donc z' = z/(|z|)2

Pour le reste je bloque. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance.
MrLyceen007

1) Donc z'=k z avec k réel positif =
donc , d'affixe z', et , d'affixe z, colinéaires
2) z'=f(z) = z
Qu'est-ce qui te bloque dans la résolution de ?

[MrLyceen007]

1) Donc z'=k z avec k réel positif =
donc , d'affixe z', et , d'affixe z, colinéaires
2) z'=f(z) = z
Qu'est-ce qui te bloque dans la résolution de ?

Slt. Merci de ta reponse. Mais on a pas encore vu les arguments donc je ne peux les utiliser.
Comme jai fait pour la premiere question, c'est pas bon ?

Merci
MrLyceen007

[Carpate]

Slt. Merci de ta reponse. Mais on a pas encore vu les arguments donc je ne peux les utiliser.
Comme jai fait pour la premiere question, c'est pas bon ?

Merci
MrLyceen007

Vous avez vu les nombres complexes sans avoir vu les notions de module et d'argument ?
(k réel avec ) peut se traduire en donc ...

[MrLyceen007]

Salut ,

Jai pratiquement fini le DM mais je comprend pas une question :

4) Le point M d'affixe z = x+iy étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' = x'+iy' par l'application f.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB) en déduire l'affixe des points de la droite (AB) en fonction de x
(b) On pose OM^2 = k, exprimer k en fonction de x
(c) Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k)
(d) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point M' en fonction de M



...

Je suis arrive a la 4(c)... crois-tu pouvoir m'aider stp ?

Merci.

[Carpate]

Salut ,

Jai pratiquement fini le DM mais je comprend pas une question :

4) Le point M d'affixe z = x+iy étant un point quelconque de la droite (AB), on se propose de construire son image M' d'affixe z' = x'+iy' par l'application f.
(a) Déterminer une équation de la droite (AB) en déduire l'affixe des points de la droite (AB) en fonction de x
(b) On pose OM^2 = k, exprimer k en fonction de x
(c) Montrer que M' appartient à C (on pourra exprimer x' et y' en fonction de x et k)
(d) Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point M' en fonction de M

...

Je suis arrive a la 4(c)... crois-tu pouvoir m'aider stp ?

Merci.

Que trouves-tu pour z' en fonction de x et de k ?

[MrLyceen007]

Que trouves-tu pour z' en fonction de x et de k ?

Bon j'ai lu un peu ce que vous avez proposer a Kelly mais je crois etres perdu.

Je vais tout recommencer.

Donc voila, ce que jai fait :

1)|z| = (z*zbarre)
donc (|z|)2 = z*zbarre
z barre = (|z|)2/z
z' = 1/(zbarre)
donc z' = 1/((|z|)2/z)
donc z' = z/(|z|)2

(C'EST BIEN PRESENTER OU PAS )

où est un réel
donc les vecteurs et sont colinéaires et O, M, M' sont alignés.
en effet



Ceci m'a ete propose mais je ne comprend pas trop. Comment il sait que K=1/|z|^2

[MrLyceen007]

Que trouves-tu pour z' en fonction de x et de k ?

2) Déterminer l'ensemble des points invariants par f. C'est-à-dire des points dont l'affixe z vérifie z = f(z).



z=f(z)
z=1/z barre
z*z barre = 1
|z|^2 = 1
|z|= racine care de 1
|z|=1

soit vecteur OM = 1

donc l'ensemble des points est un cercle de centre O et de rayon 1.

[MrLyceen007]

Que trouves-tu pour z' en fonction de x et de k ?

3) On appelle A et B les points d'affixes respectives zA = -1 et zB = i et C le cercle de diamètre [AB].
(a) Montrer que A et B appartiennent à

Je ne sais pas trop quoi faire ici.


3.b)

zE = (zA+zB)/2
= (-1+i)/2
=-0.5 + i/2

3.c)

Je bloque a niveau egalement .

[Tiruxa]

où est un réel
donc les vecteurs et sont colinéaires et O, M, M' sont alignés.
en effet



Ceci m'a ete propose mais je ne comprend pas trop. Comment il sait que K=1/|z|^2

Je vais détailler davantage :

Il s'agit de l'égalité démontrée au 1° :

qui s'écrit aussi :



donc z' = k z avec k réel
Or z' est l'affixe du vecteur

z est l'affixe du vecteur

kz est l'affixe du vecteur
Donc

ce qui permet de conclure

[Tiruxa]

Pour la 3)
Le début est :

M d'affixe z est sur C EM = EA

Les distances se calculant ainsi :

AB = ||

[MrLyceen007]

Pour la 3)
Le début est :

M d'affixe z est sur C EM = EA

Les distances se calculant ainsi :

AB = ||

Merci de ton aide. Mais pour la 3.a j'ai compris que M d'affixe z est sur C EM = EA ensuite que AB = ||

Mais il faut que je calcul AB ?

[MrLyceen007]

Pour la 3)
Le début est :

M d'affixe z est sur C EM = EA

Les distances se calculant ainsi :

AB = ||

D'ailleur la premiere partie de la question 1) est bon ?

[Tiruxa]

Mais non je rappelais simplement la formule du calcul de distance, il faut l'utiliser pour EM et pour EA.
En ce qui concerne le 1. cela peut aller au départ toutefois c'est
|z| = racine(z*z barre)

[MrLyceen007]

Merci de ton aide. Mais pour la 3.a j'ai compris que M d'affixe z est sur C EM = EA ensuite que AB = ||

Mais il faut que je calcul AB ?

Ou tu trouve E?

[MrLyceen007]

D'ailleur la premiere partie de la question 1) est bon ?

AB = |zA-zB|
= |i-(-1)|
= |i+1|
= racine caree de (1)^2 + (1)^2
= racine caree de 1 + 1
= racine caree de 2

On sait que le rayon du cercle C est 1 ( on a trouve cela dans la question 2)

Donc on fait AB/2 = (racine caree de 2) / 2
= 1

Donc A et B appartiennet au cercle C. (C'est bon ? )

[Tiruxa]

Le calcul de AB/2 est correct du moins jusqu'à racine(2) /2
C'est le rayon du cercle C de centre E (milieu de [AB]).

Il n'y a pas à démontrer que A et B sont sur C puisque C est le cercle de diamètre [AB] mais qu'ils sont sur le cercle trouvé au 2°

[MrLyceen007]

AB = |zA-zB|
= |i-(-1)|
= |i+1|
= racine caree de (1)^2 + (1)^2
= racine caree de 1 + 1
= racine caree de 2

On sait que le rayon du cercle C est 1 ( on a trouve cela dans la question 2)

Donc on fait AB/2 = (racine caree de 2) / 2
= 1

Donc A et B appartiennet au cercle C. (C'est bon ? )

Pour la 3.b)

zE = (zA+zB)/2
= (-1+i)/2
= -0.5 + i/2


Pour la 3.c)

L'equation cartesienne de C est : x^2 + y^2 + x -y = 0

Pour la 3.c)

Aucune idee.

Pour la 4.a)

zA= -1 donc A(-1:0)
zB= i donc B (0:1)

Equation d'une droite : y=mx+p

m=yA-yB / xA-xB
= 0-1 / -1-0
= 1

yA=m*xA +p
0 = 1*(-1) + p
0= -1 + p
p=1

Equation de la droite (AB): y=1x+1
=x+1


zAB= x+i(x+1)

Pour la 4.b)

OM^2 = |z|^2
K = x^2 + (x+1)^2

Pour la 4.c)

Je comprend vraiment rien.

[MrLyceen007]

Le calcul de AB/2 est correct du moins jusqu'à racine(2) /2
C'est le rayon du cercle C de centre E (milieu de [AB]).

Il n'y a pas à démontrer que A et B sont sur C puisque C est le cercle de diamètre [AB] mais qu'ils sont sur le cercle trouvé au 2°

Att arrive a AB/2 = racine(2) / 2, je doit mettre quoi ?

[Tiruxa]

Pour la 3.d chercher l'affixe de E' image de E(-1/2+i/2) puis vérifier que ses coordonnées vérifient l'équation de C.
Pour la 4.c voir le sujet du forum où cela a été précisé en détail.