Devoir maison nombre et fonction dérivée

[blackiil]

Soit f la fonction définie sur [0; + infinis] par f(x) = Racine de x. On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( Unité : 1 cm sur les axes ).
1. Dérivable de f en 0 :
a. Vérifier que pour a = 0 et pour tout réel h > 0 :
[f(a+h) - f(a)] / h = [f(h) - f(0)] / h = 1 / racine de h.

b. Calculer alors le taux d'accroissement de f entre 0 et h = 10^-10 ; h = 10^-100 et
h = 10^-1000.
Que peut-on en déduire lorsque h est de plus en plus proche de 0 ?

Plus généralement, on dit que ce taux d'accroissement admet + infini pour limite en 0.

c. En déduire que f n'est pas dérivable en 0.

d. Tracer Cf dans un repère orthonormé et tracer en couleur la tangente en 0 à Cf.

2. Approximation affine de Racine de 1+h :

a. Démontrer que pour tout réel h # 0 tel que 1+h > ou égale 0 :
[f(1+h) - f(1)] / h = 1 / racine de ( 1 + h ) + 1
b. En déduire le nombre dérivé de f en 1.

c. En déduire l'approximation affine de f(1+h) pour h proche de 0, associée à f.

d. Calculer alors (sans calculatrice et en écrivant les calculs ) Racine de 1.004 et Racine de 0.94.

[Arnaud-29-31]

Bonsoir,

Joli sujet ...