[Complexes] racines n-ièmes dans z^n=1

par **jklmmlkj** » 15 Oct 2009, 19:56

Bonsoir tout le monde, j'ai quelques questions dont je n'arrive pas à faire:

1-Résoudre dans C l'équation z^n=1 successivement pour n=2, n=3, n=4, n=6 et représenter graphiquement les solutions, appellées racines n-ièmes de l'unité.

2-Montrer que l'ensemble Un := {z C, z^n=1} vérifies les propriétés suivantes : u,v dans Un => u*v Un ; u Un => u^-1 Un.

3-Calculer le produit des racines n-ièmes de l'unité.

Pour la question 1, j'ai réussi, par contre la question 2, je ne vois pas du tout comment il faut faire et j'aimerai un peu d'aide... et pour la question 3, il faut faire le produit de toutes les solutions ou seulement celles qui apparaissent sur le graphique car j'ai beaucoup de solutions qui sont égales (comme c'est sur le cercle trigonométrique, il y a beaucoup de -1 et 1 par exemple)?

Merci de vos réponses.

par **enjolras** » 15 Oct 2009, 20:03

pour la question 2 je pense que tu dois trouver une forme générale des racines n =-iéme de l'unité
pour la questions 3 tu fais le produit de tous les elements de Un ( c'est un ensemble il n'y a donc pas de doublons...)

par **jklmmlkj** » 15 Oct 2009, 20:20

Ok, merci.
J'ai une forme générale de z^n=1 où les solutions sont z = exp(i(2*k*pie)/n) où k = 0,1,...,n-1 mais je n'arrive pas à l'interpréter.

Merci.

par **enjolras** » 15 Oct 2009, 20:21

c'est bien la bonne formule
maintenant tu écris u et v sous cette forme et tu regardes leur produit...

par **jklmmlkj** » 15 Oct 2009, 20:28

Merci mais "u" et "v" valent quoi au juste? Est-ce des solutions de z^n=1? Si c'est le cas, il faut prendre u = exp(i(2*k*pie)/n) et v = exp(i(2*k*pie)/n) ?

par **enjolras** » 15 Oct 2009, 20:33

c'est le cas puisque u et v sont des elements de Un

par **jklmmlkj** » 15 Oct 2009, 20:37

Mais dans ce cas là, on fait u*u?
Merci.

par **enjolras** » 15 Oct 2009, 20:39

non tu dois faire u*v c'est ce qui est demandé... ( question 2)

par **jklmmlkj** » 15 Oct 2009, 20:48

Merci mais je ne sais pas quoi prendre pour v, je sais que u = exp(i(2*k*pie)/n) mais v... est-ce le "k" qui change par rapport a u?

par **enjolras** » 15 Oct 2009, 20:50

bien entendu..
remarque rien n'interdit u=v
mais tu prends k'
avec k' peut etre egal a k

par **jklmmlkj** » 15 Oct 2009, 20:58

Ok, merci, du coup u*v = exp((i*2*pie(k+k')/n), mais pour démontrer que c'est une solution de z^n=1, il faut faire (exp((i*2*pie(k+k')/n))^n et voir si c'est égal à 1?

par **enjolras** » 15 Oct 2009, 21:04

si tu veux...
ca marche bien
sinon tu peux dire que c'est une racine n-ieme de l'unité direct

par **jklmmlkj** » 15 Oct 2009, 21:05

Ok merci beaucoup!

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