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Vieux 15/10/2009, 18h56
jklmmlkj
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Par défaut [Complexes] racines n-ièmes dans z^n=1

Bonsoir tout le monde, j'ai quelques questions dont je n'arrive pas à faire:

1-Résoudre dans C l'équation z^n=1 successivement pour n=2, n=3, n=4, n=6 et représenter graphiquement les solutions, appellées racines n-ièmes de l'unité.

2-Montrer que l'ensemble Un := {z € C, z^n=1} vérifies les propriétés suivantes : u,v dans Un => u*v € Un ; u € Un => u^-1 € Un.

3-Calculer le produit des racines n-ièmes de l'unité.

Pour la question 1, j'ai réussi, par contre la question 2, je ne vois pas du tout comment il faut faire et j'aimerai un peu d'aide... et pour la question 3, il faut faire le produit de toutes les solutions ou seulement celles qui apparaissent sur le graphique car j'ai beaucoup de solutions qui sont égales (comme c'est sur le cercle trigonométrique, il y a beaucoup de -1 et 1 par exemple)?

Merci de vos réponses.


jklmmlkj est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h03
enjolras
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pour la question 2 je pense que tu dois trouver une forme générale des racines n =-iéme de l'unité
pour la questions 3 tu fais le produit de tous les elements de Un ( c'est un ensemble il n'y a donc pas de doublons...)
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Vieux 15/10/2009, 19h20
jklmmlkj
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Ok, merci.
J'ai une forme générale de z^n=1 où les solutions sont z = exp(i(2*k*pie)/n) où k = 0,1,...,n-1 mais je n'arrive pas à l'interpréter.

Merci.
jklmmlkj est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h21
enjolras
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c'est bien la bonne formule
maintenant tu écris u et v sous cette forme et tu regardes leur produit...
enjolras est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h28
jklmmlkj
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Merci mais "u" et "v" valent quoi au juste? Est-ce des solutions de z^n=1? Si c'est le cas, il faut prendre u = exp(i(2*k*pie)/n) et v = exp(i(2*k*pie)/n) ?
jklmmlkj est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h33
enjolras
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c'est le cas puisque u et v sont des elements de Un
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Vieux 15/10/2009, 19h37
jklmmlkj
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Mais dans ce cas là, on fait u*u?
Merci.
jklmmlkj est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h39
enjolras
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non tu dois faire u*v c'est ce qui est demandé... ( question 2)
enjolras est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h48
jklmmlkj
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Merci mais je ne sais pas quoi prendre pour v, je sais que u = exp(i(2*k*pie)/n) mais v... est-ce le "k" qui change par rapport a u?
jklmmlkj est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h50
enjolras
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bien entendu..
remarque rien n'interdit u=v
mais tu prends k'
avec k' peut etre egal a k
enjolras est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 19h58
jklmmlkj
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Ok, merci, du coup u*v = exp((i*2*pie(k+k')/n), mais pour démontrer que c'est une solution de z^n=1, il faut faire (exp((i*2*pie(k+k')/n))^n et voir si c'est égal à 1?
jklmmlkj est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 20h04
enjolras
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Messages: 57
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si tu veux...
ca marche bien
sinon tu peux dire que c'est une racine n-ieme de l'unité direct
enjolras est déconnecté  
Vieux 15/10/2009, 20h05
jklmmlkj
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Ok merci beaucoup!
jklmmlkj est déconnecté  

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