Volume paraboloïde

par **Dinozzo13** » 29 Déc 2010, 19:21

Bonsoir, j'ai un petit soucis pour trouver un volume.
Soit

, je cherche en fait le volume du paraboloïde

situé au-dessus du plan (O;(Ox),(Oy)).
J'ai pensé que c'était en calculant

, mais je ne vois pas comment la calculer, merci de m'aider.

par **XENSECP** » 29 Déc 2010, 19:28

Je dirais qu'il te manque une intégrale... dx dy dt

Après bah si tu coupes l'intégrale en 3, ça doit se faire non ?

par **Dinozzo13** » 29 Déc 2010, 19:38

Oui, sauf que le terme t est un paramètre et est supposé fixe donc je ne pense pas qu'il faille le traiter comme une variable. Sinon, peux-tu me guider dans le calcul de ce volume.
(Ne va pas trop vite, je découvre les intégrales double et triple :++:)

par **Arnaud-29-31** » 29 Déc 2010, 19:45

Salut Dinozzo !

On est d'accord qu'on a affaire au paraboloïde classique

dirigé vers le bas et décalé d'une distance t suivant z.

Si je considère le cercle obtenu par l'intersection du plan z = cste (

)
alors ce cercle à pour rayon

. Son aire vaut

.
Il ne reste plus qu'à intégrer pour z allant de 0 à t le cylindre élémentaire de base le cercle en question et d'épaisseur dz.

par **Dinozzo13** » 29 Déc 2010, 19:50

oui, entièrement d'accord, donc, (je sais pas si on peux l'écrire mais) :

?
Je calcule cette intégrale et je te tiens au courant, merci :+++:

par **XENSECP** » 29 Déc 2010, 19:52

Dinozzo13 a écrit:Oui, sauf que le terme t est un paramètre et est supposé fixe donc je ne pense pas qu'il faille le traiter comme une variable. Sinon, peux-tu me guider dans le calcul de ce volume.
(Ne va pas trop vite, je découvre les intégrales double et triple :++:)

Hum ok autant pour moi ! C'est juste que dans ton intégrale il y a un 0 et un t qui traînent donc bon !

Les autres ont répondu donc je sors du sujet

par **Dinozzo13** » 29 Déc 2010, 19:58

Attention, j'ai crée cette intégrale pour répondre à un problème, je n'ai jamais dit qu'elle était correcte pour ce calcul.

par **Arnaud-29-31** » 29 Déc 2010, 19:59

Ca n'a pas vraiment de sens ton intégrale de gauche ...

Après si tu veux passer par l'intégrale triple, le problème se prête mieux à une étude en coordonnées cylindriques :
Un volume élémentaire s'écrit

Donc

et on détermine les bornes :

(et

),

et

Notre intégrale est donc

qui en deux ligne nous fait retomber sur l'intégrale que je t'ai proposé.

par **Dinozzo13** » 29 Déc 2010, 20:05

Oui, mais je n'ai pas vu les coordonnées cylindriques malheureusement.

Sinon je trouve

, est-ce bon ?

par **Arnaud-29-31** » 29 Déc 2010, 21:12

Oui ca m'a l'air pas mal :)

par **Dinozzo13** » 30 Déc 2010, 20:26

Au pire, si tuu pouvais me donner un moyen de vérifier, pour en être sûr.

Dans ce cas-ci la surface est particulière mais si dans un autre exemple on a pas de disque mais plutôt un truc bizarre, là il faut calculer l'aire avec une intégrale ?

Si tu veux m'expliquer ça, tu pourras prendre un exemple.

par **Arnaud-29-31** » 30 Déc 2010, 21:18

Quand j'ai dis ca a l'air pas mal, ca voulait dire oui c'est bien ça ^^

La comme la surface est particulière, j'ai pu me ramener directement à une intégrale simple ...
Si la surface est un truc bizarre et que l'on arrive pas a voir quoi intégrer, on peut revenir à l'intégrale triple.

Qui peut se traduire suivant différents systèmes de coordonnées :

en cartésiennes

en cylindrique

en sphérique

Le travail consiste à chercher les bornes (de x, y et z en cartésiennes)

Volume paraboloïde

Volume paraboloïde

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