Volume maximale, aire fixée et preuve "simple"

[switch_df]

Bonjour,

alors voilà, j aimerais savoir comment démontrer que pour une aire fixée, la sphère a le plus grand volume. Je m attend déjà à le réponse du type, fonction holomorphe théorème de Cauchy-Riemann etc... C'est justement ce que je ne veux pas.

J aimerais trouver une manière simple de prouver ceci, c'est à dire ne requérant pas l analyse complexe. Je pensais peut-être qu'il faudrait montrer que dans le plan un disque a la plus grande aire à rayon fixé, par exemple en extrémalisant une fonctionnelle, et puis passer à une intégrale de volume, ou quelque chose dans le genre.

Y a peut-être bien mieux à faire...

J aimerai une preuve pas trop dur, donc si il faut une ou deux hypothèses permettant d'éviter de gros dévellopement ca va aussi.

voila!

[yos]

peut-être qu'il faudrait montrer que dans le plan un disque a la plus grande aire à rayon fixé

Tu veux dire "à périmètre fixé" (sinon ça n'a pas trop de sens). Regarde "inégalité isopérimétrique" sur un moteur de recherche.

[switch_df]

oui, c est bien a périmètre fixé, sinon ca veu rien dire.

Effectivement, c est bien démontré dans le cas du plan et pour le cercle, ca se trouve sur wikipedia même. Je ne connaissais pas du tout le terme pour désigner ce genre d inégalité.

Il me reste toujours le problème de passer en 3D maintenant.

P.S: il a fallu supposer une courbe C1, mais c est pas si mal que ca quand même!!

[yos]

C'est vrai en toutes dimensions. Et pas d'hypothèse de régularité du bord non plus.
Le théorème dit : pour tout convexe d'intérieur non vide blablabla...
Mais pour une preuve simple il faut pas rêver.
Une bonne référence est le tome 2 de géométrie de Berger.

[switch_df]

justement pour contourner la difficulté de la dimension quelconque, je pensais partir du plan, ou l on arrive à montrer sans trop de difficulté que le cercle a la plus grande aire a taille de bord fixé et puis d étendre a R3.

Mais le problème est bien le étendre à R3 finalement.