chombier a écrit:Oui mais là c'est les bases des bases. Et surtout qu'est-ce que la prof a bien voulu dire ? Mystère !
On parlerais des voisinages d'un point dans R, je verrais à peu près. Il est en effet intéréssant de dire que si une propriété est vraie pour tout voisinage de la forme ]x0-eps ; x0+eps[, alors elle est vraie pour tout voisinage de x0.
Ainsi pour prouver qu'un énoncé est valable pour tout voisinage V de x0, il est suffisant de prouver qu'elle est valable pour tout epsilon supérieur à 0, en remplacant V par ]x0-epsilon, x0+epsilon[, et même x appartiens à V par |x-x0| < epsilon.
Mais dans N, il n'est jamais nécéssaire de prouver qu'un énoncé est valable pour tout voisinage de l'infini, car cela reviendrait à dire qu'il est valable pour tout entier n.
Donc, non, vraiment, la piste de la base de voisinages me parait fausse.
Alors qu'est-ce que l'auteur a voulu dire, mystère...
Les propriétés intéressantes pour
L'avantage des voisinages, c'est qu'on peut les définir dans un cadre très général (espaces topologiques). Dans le cas des nombres réels, muni de la distance usuelle d(x,y)=|x-y|, qui définit la topologie usuelle, on peut montrer (ou définir) que les voisinages d'un point