Vitesse de convergence de la moyenne arithmético-géométrique

[Niki42]

Bonjour,

j'étudie actuellement la moyenne arithmético-géométrique (MAG)

Pour rappel, on introduit deux suites (an) et (bn) , avec 0<b<a , et tel que
an+1 = 1/2 (an+bn)
bn+1 = racine(an.bn)

Ces deux suites sont adjacentes et tendent vers la MAG.

Ma question est : comment prouver que ces suites tendent QUADRATIQUEMENT vers la MAG ?

J'ai fait des recherches sur internet.
La solution que tout le monde adopte est de faire intervenir une troisième suite (cn) tel que
cn=racine (an²-bn²) et de trouver une inégalité entre cn+1 et cn².
Je ne comprends pas pourquoi faire intervenir la différence des carrés ?

De mon côté, j'aurais eu tendance à montrer que:

an+1 - bn+1 = 1/2 (an+bn) - racine(an.bn)
= 1/2 (racine(an)-racine(bn))²
= 1/2 (an-bn)² / (racine(an)+racine(bn))²
que l'on peut majorer par (an-bn)²/8b
On a donc (an+1-bn+1)/(an-bn)² < 1/8b.
Est-ce suffisant pour prouver la convergence quadratique ?

Merci beaucoup pour votre aide!