Vecteurs linéairement indépendants

[Georges10]

Bonsoir à tous.
Svp j'ai des choses à savoir sur ce petit exercice.
Soit V₁ , V₂, V₃, ...., Vₙ des vecteurs linéairement indépendants de R^ n.
1- Les vecteurs v₁ -v₂ , v₂-v₃, v₃-v₄,.....,vₙ-v₁ sont-ils linéairement indépendants pour n >=2 ?
Je repond oui car j'ai essayé avec les vecteurs de la base canonique de R^3.( à vrai dire je ne vois pas comment le demontrer concrètement ).
2- Les vecteurs v₁ +v₂ , v₂+v₃, v₃+v₄,.....,vₙ+v₁ sont-ils linéairement indépendants pour n >=2 ?
3-Les vecteurs v₁ ,v₁ + v₂, v₁+v₂+v₃, v₁+v₂+v₃+v₄,.....,v₁+v₂+v₃+..... +vₙ sont-ils linéairement indépendants pour n >=2 ?

Bon j'ai pris l'exemple de la base canonique de R^5 pour essayer, et tout me semble juste. Mais je ne suis pas convaincu.

Merci pour votre aide!

[Georges10]

Svp

[pascal16]

démo dans le cas général
pour la 1
pour n=2, V1-V2 et V2-V1 sont liés
pour n quelconque :
(v₁ -v₂)+(v₂-v₃)+( v₃-v₄)+.....+(vₙ-v₁) =0

pour la 2:
pour n=2, V1+V2 et V2+V1 sont liés
avec la notation V1=Vn+1et Vo=Vn
on suppose les vecteurs linéairement liés
-> tu parts d'une somme des " αᵢ (Vᵢ + Vᵢ₊₁) " = 0
-> tu réorganises la somme : somme (αᵢ+αᵢ₋₁) Vᵢ =0
les Vi sont indépendants, donc, pour tout i, (α+ αᵢ₋₁) =0
donc tous αᵢ semblent deux à 2 opposés, avec la notation de départ, le dernier et le premier doivent aussi être de signe opposés
Suivant la parité de n, ça change
n pair αᵢ =α (-1)^i est une CL qui lie les vecteurs
n impair, vecteurs libres car αᵢ =α (-1)^i et α=-α

[Georges10]

Merci pour ta réponse.
Pour la question 1 , pour n = 4,
( v1-v2)+(v2-v3)+(v3-v4)+(v4-v1) = 0 donc ce système n'est libre.
Pour la question 3, pour n = 4,
Pour tout a, b, c, d de R, je pense qu'il ne peut pas exister av1 + b(v1+v2) + c(v1+v2+v3) + d(v1+v2+v3+v4) = 0 avec a=b=c=d=0.
Donc ce système est libre.

Merci.

[pascal16]

la 3 peut se faire par récurrence sans utiliser de notion d'espace vectoriel engendré ni choses compliquées.