Vecteurs engendrés (base et dimension)

[mich123]

Bonjour,
J'ai un exercice qui me demande de trouver le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de l'ensemble suivant. Je dois donner la base et la dimension de ce sous-espace:
U=[(1,3,2),(2,4,1)]
Ainsi, jai posé le vecteur v1=(1,3,2) et le vecteur v2=(2,4,1)
Ensuite en additionnant j'ai obtenu :
a(1,3,2) + b(2,4,1) =x,y,z
ce qui m'a donné le système suivant :
a+2b=x
3a+4b=y
2a+b=z
Ensuite, je les ai résolu en effectuant la méthode de Gauss dans une matrice .
Ce qui m'a donné une solution unique ,soit 2z+5x-3y=0 pour que le sous-espace vectoriel appartiennent à R3
Suis-je sur le bon chemin? et quelle est la base dans ce cas-ci?
Merci d'avance!

[pascal16]

On peut fait complètement différemment.
V1 et V2 ne sont pas liés (pour les 1iere et 3è coordonnées, il faut multiplier par 2 pour passer de l'un à l'autre, pas pour la 2, sinon, det (v1,v2)<> 0)
V1 et V 2 non liés => il engendrent un ev de dimension 2.

pour la base, (v1,v2) en est une.
on peut la normaliser (on divise par la norme)
on peut l'orthonomaliser (Schmit) (on divise V1 par sa norme et on cherche un V2' dans vect(V1,V2), de norme 1 et orthogonale à v1)

[Ben314]

Salut,

...sinon, det (v1,v2)<> 0)

Hummmm...
j'ai de gros doutes concernant le calcul du déterminant d'une matrice 3 x 2 . . .

[pascal16]

à remplacer par "non liés" ou "libres".
Dans le cas de deux vecteurs :"non proportionnels", "non colinéaires" marche aussi.

[chan79]

salut
le produit vectoriel de v1 et v2 est (-5,3,-2)
On a donc une équation du plan vectoriel engendré par v1 et v2: -5x+3y-2z=0

[pascal16]

c'est en effet comme ça qu'on trouve une équation de ce plan

[mich123]

Merci beaucoup!