Vecteur directeur d'une droite

par **birdy01** » 10 Juin 2007, 09:01

Bonjour
Je suis entrain de réviser la géométrie euclidienne :marteau: et je suis à nouveau confronté à un petit problème :briques: :
Soit la droite d'équation :

En résolvant le système, je trouve comme vecteur :

Comment faire pour retirer le z ?

Merci de votre aide précieuse !

par **emdro** » 10 Juin 2007, 09:39

Bonjour,

je ne comprends pas quel système tu as résolu.
As-tu écrit que u est orthogonal avec un vecteur directeur de chaque plan?

par **emdro** » 10 Juin 2007, 09:46

Auquel cas, on a n1(1,-2,1) et n2(-1,4,1)
D'où si on cherche u(x,y,z):
x-2y+z=0 et -x+4y+z=0 (produits scalaires)

Ce système se résout (en choisissant z comme paramètre):
x=-3z et y=-z

C'est à dire que u(-3z;-z ;z). Il y a une infinité de solutions car il y a une infinité de vecteurs directeurs. Tu peux en choisir un U(-3;-1;1) par exemple.

par **birdy01** » 10 Juin 2007, 09:55

Merci emdro. en fait

est l'ensemble des vecteurs directeurs. Un vecteur directeur est donc obtenu en fixant une valeur de z (par exemple 3)

Merci beaucoup

par **emdro** » 10 Juin 2007, 09:58

Je ne suis pas d'accord, l'ensemble des vecteurs directeurs est celui que j'ai donné: (-3z,-z,z).
Tes vecteurs entre eux en sont pas colinéaires!
Qu'as-tu écrit comme système?

par **yos** » 10 Juin 2007, 10:26

Birdy01 est parti d'une droite affine, donc il obtient une représentation paramétrique de la droite.

par **emdro** » 10 Juin 2007, 10:39

Bonjour Yos,

Je crois que Birdy01 est parti tout court!

C'est la méthode que j'emploie personnellement. Mais je crains que Birdy pense lui trouver -non une réprésentation paramétrique de la droite- mais un vecteur directeur (il a mis u devant sa représentation).

Il a juste pris l'idée de remplacer z par n'importe quelle valeur dans ma réponse...
Et son "vecteur directeur" ne dirige rien!

par **yos** » 10 Juin 2007, 11:03

Bonjour emdro.
Ce que je voulais dire :
si on calcule x et y en fonction de z, on obtient une représentation paramétrique de D qui est :

x=11-3t
y=4-t
z=t

C'est-à-dire que la droite D est l'ensemble des points M(11-3t, 4-t, t) où le paramètre t décrit R.

C'est ce que birdy01 obtient mais il semble qu'il l'interprète mal.

par **emdro** » 10 Juin 2007, 11:06

emdro a écrit:C'est la méthode que j'emploie personnellement.

Merci Yos,

On est bien d'accord que c'est pratique, mais plus délicat à comprendre dans un premier temps. C'est en tout cas la méthode que je conseille à mes élèves.

par **birdy01** » 10 Juin 2007, 18:52

Désolé pour mon retard.
Si je comprends bien

n'est pas un vecteur directeur de la droite mais (2,1,3) est juste un point de cette droite.
Je vais y réflechir Merci

par **emdro** » 10 Juin 2007, 18:56

Oui puisque tu as résolu le système des équations de plans.

Tu as considéré que (x,y,z) vérifiait les équations donc, que c'étaient les coordonnées d'un point de ces plans.

En faisant cela, tu es tombé sur la représentation paramétrique de la droite d'intersection, et un vecteur directeur se lit en regardant les coefficients du paramètre t.

par **birdy01** » 10 Juin 2007, 19:00

ok ! donc pour trouver un vecteur directeur, il faut trouver 2 points de cette droite en choisissant 2 valeurs de z différentes. Ensuite on obtient le vecteur en soustrayant les coordonnées des 2 points.
Me trompe-je ?
merci emdro

par **emdro** » 10 Juin 2007, 19:21

yos a écrit:x=11-3t
y=4-t
z=t

C'est une méthode -la moins élégante-.

Une autre est de faire ce que yos avait écrit:
passer de
x=11-3z
y=4-z

à

x=11-3z
y=4-z
z=z (!)

et si tu préfères

x=11-3t
y=4-t
z=t

Ce qui signifie que vecteur(AM)=t vecteur(u) *
avec A(11,4,0) et u(-3,-1,1).

Et la relation * dit bien que M est sur la droite passant par A dirigée par u.

par **birdy01** » 10 Juin 2007, 19:28

D'accord je crois avoir compris !
Je vais m'entrainer avec d'autres exercices
Merci beaucoup à toi et à yos
A bientôt

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