Vecteur aléatoire gaussien

[snail]

Bonjour à tous

Si Z est un vecteur aléatoire gaussien de Rn , A une matrice de réels de taille (m,n) et B un vecteur de Rm
Je souhaite montrer que AZ+B est un vecteur gaussien de Rm , puis que E(AZ+B)=A E(Z) + B et que V(AZ+B)=A V(Z) A(transposé)
Peut-on m'aider svp. Je ne demande pas la réponse juste quelques pistes surtout pour la variance

[ElHadj]

Bonjour à tous

Si Z est un vecteur aléatoire gaussien de Rn , A une matrice de réels de taille (m,n) et B un vecteur de Rm
Je souhaite montrer que AZ+B est un vecteur gaussien de Rm , puis que E(AZ+B)=A E(Z) + B et que V(AZ+B)=A V(Z) A(transposé)
Peut-on m'aider svp. Je ne demande pas la réponse juste quelques pistes surtout pour la variance

2 choses à noter :
1) linéarité de l'espérance par rapport à l'addition.
2) E(Zi,1<=i<=n)=(EZi,1<=i<=n)

Donc E(AZ+B)=E(AZ)+B
AZ est un vecteur de Rm. Tu explicite ces composantes, tu fais l'espérance de chaque composante, et tu revient en arriére pour reconnaitre les composantes du produit AE(Z).
De même tu peux montrer que
E(Z*A*+B*)=E(Z*)A*+B*

Pareil
V(AZ+B)=E(AZ+B-E(AZ+B))(AZ+B-E(AZ+B))*
=E(AZ+B-AE(Z)-B)(AZ+B-AE(Z)-B)*
=E(AZ-AE(Z))(AZ-AE(Z))*
=E(AZ-AE(Z))(Z*A*-(E(Z))*A*)
=EA(Z-E(Z))(Z*-(E(Z))*)A*
=AE(Z-E(Z))(Z*-(E(Z))*)A* (grace à la 1ere formule)
=A(E(Z-E(Z))(Z*-(E(Z))*))A* (grace à la 2eme formule)
=A(E(Z-E(Z))(Z-E(Z))*)A*
=AV(Z)A*