Vect(u,v)=Vect(u',v') pour un lycéen

[checkmaths]

Bonsoir

On est dans un espace affine de dimension 3, d'espace vectoriel associé .

Tout d'abord, pour fixer les idées, je définis un plan comme suit :

Définition : Soient et un couple de vecteurs non-colinéaires de (c'est-à-dire un système libre de ). L'ensemble est le plan passant par , de vecteurs directeurs et .

Venons-en au cœur du problème. J'aimerais reformuler ce théorème :

Théorème : Soient . Si et sont des couples de vecteurs non-colinéaires de (c'est-à-dire des systèmes libres de ), alors

J'aimerais réécrire le théorème sans la notation Vect qui n'est pas vue au lycée. J'aurais tendance à le réécrire comme ça :

Théorème : Soient . Si et sont des couples de vecteurs non-colinéaires de (c'est-à-dire des systèmes libres de ), alors

Mais est-ce correct ? Y'a-t-il encore plus simple ?

Pourriez-vous m'aider svp ?

[Skullkid]

Bonsoir, ta dernière condition ne va pas. Elle se traduit par "il existe une combinaison linéaire de u et v qui soit aussi une combinaison linéaire de u' et v'" et est donc toujours vérifiée quitte à prendre tous les coefficients nuls. En fait, comme tu es dans un espace de dimension 3, la condition est même toujours vérifiée avec des coefficient non tous nuls puisque la famille (u,v,u',v') est liée.

Ce que tu avais probablement en tête c'est "toute combinaison linéaire de u et v est une combinaison linéaire de u' et v'", soit avec les quantificateurs Mais tu peux faire encore plus simple : il faut et il suffit que u et v soient des combinaisons linéaires de u' et v'.

[checkmaths]

D'accord. Donc en fait l'égalité des Vect est plutôt équivalente à si j'ai bien compris. C'est ça ?

[checkmaths]

Svp

[checkmaths]

Aussi, est-ce que ces équivalences sont correctes ? Svp

[Skullkid]

Tout est correct sauf ta dernière équivalence : il existe toujours des vecteurs w qui ne sont pas des combinaisons linéaires de u et v.

[checkmaths]

D'accord merci beaucoup . Je pense plutôt que je vais prendre la 2e équivalence qui colle mieux à la démo du théorème via l'utilisation de Vect.