Variétés topologiques

par **trust** » 10 Mar 2008, 21:41

bonsoir, je voudrais savoir en fait comment prouver que si

( où

variété de dimension

) est une courbe continue et injective alors elle n'est pas surjective?

Par l'absurde, je ne vois pas de contradiction.

Puis après le pire c'est que comment prouver que la composante non bornée de

) (notons le

) est homéomorphe à la boule unité?
Pour celui-là, j'ai voulu utiliser l'application

où

mais bon pour l'origine il ya un problème et mes tentatives ne marchent pas du tout à cause de cet origine

.

par **ffpower** » 10 Mar 2008, 21:46

c des trucs compliqués ca je crois.ca me fait penser a Jordan et compagnie...

par **busard_des_roseaux** » 10 Mar 2008, 21:57

bjr,

si

est bijective et continue, l'image réciproque par

d'un fermé est l'image directe par

d'un compact, donc un fermé.
Tout ça pour dire que

est un homéomorphisme, ce qui n'est pas possible car les dimensions sont 1 et

.

Soit

une application continue , injective de

dans

.

n'est pas surjective. Il y a un point M de

qui n'est pas une image.

privée de M, est simplement connexe.

est un lacet de cet espace, homotope à un point.

De plus, les variétés de dimension 2, connexes, simplement connexes, ouvertes, il doit y en avoir qu'une, ( à homéomorphisme près) le disque unité ouvert ?? il faudrait regarder le théorème de classification des variétés de dimension 2.

par **trust** » 10 Mar 2008, 22:09

ok merci beaucoup et la 2ème question en fait? comment on peux bidouiller un homéomorphisme correct?

par **trust** » 10 Mar 2008, 22:14

et en passant? toute variété est compacte?

par **ffpower** » 10 Mar 2008, 22:15

nan,R^n est une variété

par **trust** » 10 Mar 2008, 22:17

donc pourquoi

est un homéomorphisme? parce que comment prouver la continuité de l'application inverse?

par **ffpower** » 10 Mar 2008, 22:18

car S^1 lui est compact

par **trust** » 10 Mar 2008, 22:22

une application bijective continue d'un compact vers une variété est un homéomorphisme?

par **busard_des_roseaux** » 10 Mar 2008, 22:28

trust a écrit:une application bijective continue d'un compact vers une variété est un homéomorphisme?

oui, ce résultat n'utilise pas les cartes de la variété. Il suffit que l'espace topologique Y d'arrivée soit séparé. L'image d'un compact, par une fonction continue, dans un espace séparé, est compacte.

est donc continue car l'image réciproque d'un fermé par

est fermée, car c'est aussi l'image directe, par

, d'un compact.

par **trust** » 10 Mar 2008, 22:37

busard_des_roseaux a écrit:bjr,

privée de M, est simplement connexe. est un lacet de cet espace, homotope à un point.

J'ai pas bien compris ton raisonnement là en fait? comment de là, on peut en déduire que la partie connexe non bornée est homéo au disque unité?

par **busard_des_roseaux** » 12 Mar 2008, 12:02

Il y a un point obscur dans ta question:

est compacte. Comment peut-on avoir une composante connexe non bornée ?

par **ffpower** » 12 Mar 2008, 12:07

en fait ce serait plutot les 2 composantes qui sont homéomorphe au disque..

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