Variables aléatoires

[sophia02030]

Bonjour !
J'aurai besoin de votre aide concernant un exercice sur les variables aléatoires.
Le voici :
Soit Z une variable aléatoire normale centrée réduite. Déterminer les probabilités suivantes :
p(0≤ Z≤0,5)
p( 0 <Z <2,1)
p( 1,62 ≤ Z ≤1,94)
p(Z ≤-1,86)
p(- 1,8 ≤ Z ≤0,94)

Je ne comprends pas cet exercice, c'est assez compliqué avec cette situation et le fait de ne pas avoir cours.

Merci beaucoup de votre aide !

[GaBuZoMeu]

Je parie que tu as une table de la loi normale centrée réduite, avec un mode d'emploi.
Est-ce que j'ai gagné mon pari
Ton exercice est juste un exercice d'apprentissage de lecture de la table.

Peux-tu lire sur la table ?
Connais-tu ?
Peux-tu en déduire ?

[sophia02030]

Oui tu as gagné ton pari ! Pour les deux premiers j'ai trouvé ceci :
(0≤ Z≤0,5) = P(T<0,5) = 0,6915
p( 0 <Z <2,1) P(T<2,1) = 0,9778
J'avais un exemple pour les probabilités où 0 est inférieur ou égal à Z mais lorsqu'il n'y a plus 0 mais un autre chiffre (qui est supérieur à 0) c'est pareil ? Comme pour cette probabilité par exemple :
p( 1,62 ≤ Z ≤1,94)

[GaBuZoMeu]

NON!!!!

La table te donne . CE N'EST PAS !!!
Pourquoi crois-tu que je t'ai demandé si tu connaissais ?

[sophia02030]

Ah d'accord, je ne vois pas comment faire..

[Sylviel]

Une loi normale centrée est symétrique. Ce qui veux dire que P(Z > a) = P(Z <a).
En particulier pour a = 0 on a P(Z> 0) = P(Z<0).
En se souvenant que P(Z=0)=0, peux-tu en déduire P(Z<0) ?

[GaBuZoMeu]

Correction du message de Sylviel : il faut lire P(Z > a) = P(Z < -a) (ne pas oublier le "moins").

[sophia02030]

P(Z<0)=1/2 ?

[GaBuZoMeu]

OUI !

[sophia02030]

Merci ! Donc (0≤ Z≤0,5) = P(0<Z)=1/2?

[GaBuZoMeu]

M'enfin, réfléchis un peu !
Tu penses vraiment que 0≤ Z≤0,5, c'est la même chose que 0≤ Z ????

Si a<b, alors Z≤ b est la réunion disjointe de Z<a et de a≤Z≤b. Donc
P(Z≤b) = P(Z<a) + P(a≤Z≤b)
et par conséquent
P(a≤Z≤b) = ???

[sophia02030]

Si P(Z<0) = 1/2
Alors
P(0≤ Z≤0,5) = P(0,5≤ Z≤0,5) ?
J'essaye de faire de mon mieux..

[sophia02030]

Si c'est correct faut il utiliser la méthode des intervalles cintrés après ?

[GaBuZoMeu]

P(0≤ Z≤0,5) = P(0,5≤ Z≤0,5) ?
J'essaye de faire de mon mieux..

Essaie surtout de réfléchir et d'avoir un peu de bon sens . Ne vois tu pas que l'événement 0≤ Z≤0,5 n'est pas du tout le même que l'événement 0,5≤ Z≤0,5 ?

Relis avec attention mon message précédent et remplace les points d'interrogation à la fin par ce qui convient.

[sophia02030]

Si a≥0
P(X ≤ a) = 0,5 + P(0 ≤ X ≤ a)

Si a≤0
P(X ≤ a) = 0,5 − P(a ≤ X ≤ 0)

Donc P(a≤Z≤b) =P(X≤b)−P(X≤a) ?

[GaBuZoMeu]

Si a<b, alors Z≤ b est la réunion disjointe de Z<a et de a≤Z≤b. Donc
P(Z≤b) = P(Z<a) + P(a≤Z≤b)
et par conséquent
P(a≤Z≤b) = P(Z≤b) - P(Z<a)
(si p = q+r, alors r=p-q).

et P(Z<a) = P(Z≤a) puisque P(Z=a)=0.

[sophia02030]

P(a≤Z≤b) = P(Z≤b) - P(Z<a)
Donc P(X≤0,5) - P(X≤0)
= 0,6915 - 0,5
= 0,1915
Est-ce correct ?

[GaBuZoMeu]

OUI.

[sophia02030]

Merci beaucoup de ton aide !
J'ai fais la même méthode pour les autres probabilités.
p( 0 < Z <2,1) = P(X≤2,1) - P(X≤0) = 0,9778- 0,5 = 0,4778
p( 1,62 ≤ Z ≤1,94) = P(X≤1,62) - P(X≤1,94) = 0,9738 - 0,9474 = 0,0264
p(Z ≤-1,86) = P(T > -1,86) = P(T<1,86) = φ (1,86) = 0,9686
p(- 1,8 ≤ Z ≤0,94 = P(T>-1,8) = P(T<1,8) = φ(1,8) = 0,9641 - 0,8264 = 0,1377
C'est bon ?

[GaBuZoMeu]

p( 1,62 ≤ Z ≤1,94) = P(X≤1,62) - P(X≤1,94) NON
p(Z ≤-1,86) = P(T > -1,86) NON
p(- 1,8 ≤ Z ≤0,94 = P(T>-1,8) NON

Et pourquoi changes tu Z en T ou en X ???

Plus de soin est nécessaire.