Ce qu'on peut dire en général de n'importe quelle fonction de répartition c'est que :
- Elle tend vers 0 en -oo et vers 1 en +oo.
- Elle est croissante.
- Elle est continue à droite en tout point de R.
Ce qui implique (en particulier) que l'ensemble des points de discontinuité est au plus dénombrable.
Ensuite, face à la question "est-ce que la fonction de répartition d'une variable continue (=non discrète) est forcément continue par morceaux ?" :
- Le premier truc qui me vient à l'esprit, c'est déjà de dire que le fait que la variable soit "non discrète", ben ça va pas servir à grand chose : si tu prend une v.a.r. discrète, que tu enlève epsilon sur le "poids" d'un point puis que ce poids epsilon tu le réparti uniformément sur un petit intervalle, ben ta nouvelle loi n'est plus discrète alors que concernant la fonction de répartition, tu as quasiment rien changé....
Bref, être non discrète, c'est uniquement une "non information" c'est à dire un truc qui t'interdit d'utiliser certains outils sans pour autant t'en procurer de nouveau : pour avoir de "nouveaux" outils, il faut supposer que ta v.a.r. (ou au au moins une partie de ta v.a.r.) possède une densité. Là, effectivement, ça t'ouvre de nouvelles portes.
- Ensuite, (et comme par hasard), ça va dépendre de... ce que tu prend comme définition de "continue par morceaux". En général,
si on est une un intervalle fermé borné [a,b], on définie "continue par morceaux" par le fait qu'on peut trouver une subdivision
finie telle que, pour tout
, la restriction de
à
soit coïncide avec la restriction d'une fonction continue sur
(fermé) (*). Mais si f est définie sur R tout entier (et pas sur [a,b]), là, je sais pas s'il y a une définition bien carrée de ce que veut dire "continue par morceaux" : accepte-on de couper R en une infinité de sous intervalles ou bien seulement en un nombre fini ?
Mais, bon, à mon avis, quelque soit la définition choisie, je pense que la réponse sera toujours "non" : Si tu met un poids de 1/2^(n+1) sur tout les 1/n avec n dans N* et le 1/2 restant réparti uniformément sur l'intervalle [2,3] (ce qui sert uniquement à pouvoir dire que la v.a.r. est non discrète) alors je ne pense pas que la fonction de répartition pourra être dite "continue par morceau" quelque soit la définition vu qu'en prenant la définition classique pour les intervalles [a,b], elle n'est pas continue par morceaux sur [0,1] vu qu'elle a une infinité de discontinuité sur cet intervalle.
(*) Ce qui signifie en fait qu'elle est continue sur [a,b] privé d'un nombre fini de points et qu'en ces points de discontinuité,
admet des limites à droite et à gauche.