Variables aléatoires mixtes

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LB2
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Variables aléatoires mixtes

par LB2 » 05 Oct 2018, 01:02

On définit la variable aléatoire X comme suit :

Avec probabilité 1/2, X est uniforme sur [0,2]
Avec probabilité 1/2, X vaut 1.

Dans le cours du MIT, ils parlent de "mixed distribution", de distribution de probabilités mixtes, ou encore de variables aléatoires mixtes.

En effet, X n'admet pas de densité, et X n'est pas discrète.

Cette notion est-elle au programme du lycée? Et des classes préparatoires?

Il y a d'ailleurs à ce sujet un point que je souhaiterais éclaircir : les notions suivantes sont-elles équivalentes?
- variable aléatoire réelle continue
- variable aléatoire réelle à densité

L'article wikipedia dit "Une variable continue possède souvent une fonction de répartition continue en tout point et dérivable par morceaux" ce qui est quand même assez comique...

Je me doute que la bonne notion derrière tout ça est de considérer le cadre des distributions où toute distribution est dérivable... mais quelqu'un aurait-il une bonne référence à lire?



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Ben314
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Re: Variables aléatoires mixtes

par Ben314 » 05 Oct 2018, 08:32

Salut,
LB2 a écrit:Il y a d'ailleurs à ce sujet un point que je souhaiterais éclaircir : les notions suivantes sont-elles équivalentes?
- variable aléatoire réelle continue
- variable aléatoire réelle à densité
Pour moi, non : une varible aléatoire "continue", ça veut juste dire qu'elle n'est pas discrète (où discrète=prend un ensemble de valeur au plus dénombrable), donc que tu ne peut plus appliquer le fait que .
Alors qu'une variable aléatoire réelle à densité, comme le dit wikipédia, c'est une variable aléatoire dont la fonction de répartition est continue et dérivable par morceaux.
Par exemple, ta v.a.r. avec son p(X=1)=1/2 est continue (car pas discrète) mais n'est pas à densité vu que la fonction de répartition n'est pas continue en 1.
Et si tu prend la proba. uniforme sur l'ensemble de Cantor K (via la bijection classique de ce dernier avec [0,1]) alors c'est une v.a.r. continue c'est à dire non discrète vu que K est non dénombrable, mais elle n'est pas à densité car la fonction de répartition est effectivement continue, mais elle n'est pas dérivable par morceaux.

P.S. : De toute façon, c'est uniquement du vocabulaire, donc ça n'a pas franchement d'importance : le tout c'est juste de savoir dans quel cas tu peut appliquer tel ou tel résultat et si tu te rappelle ne serait-ce que vaguement de comment on prouve le résultat en question, ben tu retrouve quels sont les conditions nécessaires.
En plus, méfie toi vu que tout ce qui est vocabulaire, c'est pas forcément bien stable à changement de langue près...
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LB2
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Re: Variables aléatoires mixtes

par LB2 » 05 Oct 2018, 21:29

Ok, merci pour l'exemple de la proba uniforme sur l'ensemble de Cantor.

Prenons donc une variable aléatoire continue (c.a.d. non discrète). Que peut-on dire de la régularité de sa fonction de répartition?

En particulier, sa fonction de répartition est-elle nécessairement continue par morceaux?

aviateur
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Re: Variables aléatoires mixtes

par aviateur » 05 Oct 2018, 22:32

bjr Pour une v.a a densité


La continuité de F découle de cette formule.

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Ben314
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Re: Variables aléatoires mixtes

par Ben314 » 05 Oct 2018, 22:46

Ce qu'on peut dire en général de n'importe quelle fonction de répartition c'est que :
- Elle tend vers 0 en -oo et vers 1 en +oo.
- Elle est croissante.
- Elle est continue à droite en tout point de R.
Ce qui implique (en particulier) que l'ensemble des points de discontinuité est au plus dénombrable.

Ensuite, face à la question "est-ce que la fonction de répartition d'une variable continue (=non discrète) est forcément continue par morceaux ?" :
- Le premier truc qui me vient à l'esprit, c'est déjà de dire que le fait que la variable soit "non discrète", ben ça va pas servir à grand chose : si tu prend une v.a.r. discrète, que tu enlève epsilon sur le "poids" d'un point puis que ce poids epsilon tu le réparti uniformément sur un petit intervalle, ben ta nouvelle loi n'est plus discrète alors que concernant la fonction de répartition, tu as quasiment rien changé....
Bref, être non discrète, c'est uniquement une "non information" c'est à dire un truc qui t'interdit d'utiliser certains outils sans pour autant t'en procurer de nouveau : pour avoir de "nouveaux" outils, il faut supposer que ta v.a.r. (ou au au moins une partie de ta v.a.r.) possède une densité. Là, effectivement, ça t'ouvre de nouvelles portes.
- Ensuite, (et comme par hasard), ça va dépendre de... ce que tu prend comme définition de "continue par morceaux". En général, si on est une un intervalle fermé borné [a,b], on définie "continue par morceaux" par le fait qu'on peut trouver une subdivision finie telle que, pour tout , la restriction de à soit coïncide avec la restriction d'une fonction continue sur (fermé) (*). Mais si f est définie sur R tout entier (et pas sur [a,b]), là, je sais pas s'il y a une définition bien carrée de ce que veut dire "continue par morceaux" : accepte-on de couper R en une infinité de sous intervalles ou bien seulement en un nombre fini ?

Mais, bon, à mon avis, quelque soit la définition choisie, je pense que la réponse sera toujours "non" : Si tu met un poids de 1/2^(n+1) sur tout les 1/n avec n dans N* et le 1/2 restant réparti uniformément sur l'intervalle [2,3] (ce qui sert uniquement à pouvoir dire que la v.a.r. est non discrète) alors je ne pense pas que la fonction de répartition pourra être dite "continue par morceau" quelque soit la définition vu qu'en prenant la définition classique pour les intervalles [a,b], elle n'est pas continue par morceaux sur [0,1] vu qu'elle a une infinité de discontinuité sur cet intervalle.

(*) Ce qui signifie en fait qu'elle est continue sur [a,b] privé d'un nombre fini de points et qu'en ces points de discontinuité, admet des limites à droite et à gauche.
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Re: Variables aléatoires mixtes

par Ben314 » 05 Oct 2018, 23:10

Je suis pas super balèze (surtout en proba "théorique"), mais en mon sens, quand on a une v.a.r., il y a 3 "cas" qui se dégagent :
- Le cas discret où, pour tout , on a . (1)
- Le cas "à densité" où, pour tout , on a pour une certaine fonction . (2)
- Les cas "autres" comme celui de la loi uniformément distribuée sur l'ensemble de Cantor où pour tout (donc rien de discret nulle part) et où la fonction de répartition, partout où elle est dérivable (= sur privé d'un ensemble négligeable) possède une dérivée nulle (donc rien "à densité" nulle part).

Après, si tu part d'une v.a.r. absolument quelconque, tu peut définir la "partie" de qui est discrète : c'est les tels que (c'est à dire les points de discontinuités de la fonction de répartition). Si tu retranche à la fonction de répartition de ) cette partie "discrète", tu obtient un fonction continue (et toujours croissante) et je pense (à vérifier) que tu peut définir une "partie à densité" en calculant la dérivée de aux endroit où cette dérivée existe (et je pense que c'est forcément un ensemble dense, voire plus : à vérifier) ce qui te permet de définir la "partie à densité" (modulo que soit effectivement intégrable : je ne sais pas si c'est forcément le cas...)
Sauf que, une fois que c'est fait, ben il risque de te rester un morceau style loi uniforme sur le Cantor qui n'est n'a aucune "partie discrète", ni aucune partie "à densité"...

(1) Où on n'a vraiment besoin de la notion de tribu vu est absolument quelconque là dedans.
(2) Où on a besoin de la notion de tribu (des boréliens) vu qu'on ne sait calculer que les et tout ce qui en découle par intersection/réunion dénombrable et passage au complémentaire donc c'est pas sûr du tout qu'on puisse calculer pour quelconque.
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