Variables aléatoires, loi conjointe

[harrywhite]

salut, jai un exo et jai du mal a comprendre comment ça marche:

soient X et Y 2 variables aléatoires dont la loi est donnée par : (normalement c'est un tableau)

P(X=1 , Y=1 ) = 1/8
P(X=1, Y=0 ) = 1/8
P(X=1 , Y=-1 ) = 1/8
P(X=0 , Y=1 ) = 1/8
P(X=0 , Y=0 ) = 0
P(X=0 , Y=-1 ) = 1/8
P(X=-1 , Y=1 ) = 1/8
P(X=-1 , Y=0 ) = 1/8
P(X=-1 , Y=-1 ) = 1/8


1. X et Y sont elles indépendantes?
la je dois montrer que P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi)P(Y=yj)

jai trouvé P(X=-1)=3/8, P(X=1)=3/8 ,P(Y=-1)=3/8 , P(Y=1)=3/8 et P(X=0)=2/8 , P(Y=0)=2/8
donc d'aprés ça X et Y ne sont pas indépendants, mais je suis vraiment pas sur du tout

2.déterminer la loi de X+Y et la loi de X²Y²
pour X+Y je suis pas trop sur:
P(X+Y=-2)= 1/8
P(X+Y=-1)= 2/8
P(X+Y=0)=
P(X+Y=1)=
P(X+Y=2)= 2/8
en fait jarrive pa strop a voir comment ça marche..

[fahr451]

bonjour

1 c'est bon
de quoi n'es tu pas sûr?
remarque : l'intérèt de faire un vrai tableau avec de vraies marges et de justifier l'expression loi marginale puisqu'on la trouve dans la marge.
2 ce que tu as fait est correct
où bloques tu pour finir ?
compte tenu des valeurs de X et Y
X+Y = 0 ssi ( X = 0 et Y = 0) ou (X = 1 et Y =- 1 ) ou ( X= -1 et Y = 1)

d'où
{X+Y= 0} = [ {X=0}inter {Y= 0}] union [{X=1} inter {Y= -1}] union...
union disjointe d'où

P(X+Y= 0) = 0 + 1/8 +1/8

[harrywhite]

ok merci

donc ça donne

P(X+Y = 0) = 2/8
et P(X+Y=1) = 2/8

et pour X²Y² ça donne:

P(X²Y²= 0)= 4/8
P(X²Y²= 1)= 4/8

[fahr451]

on dirait bien en effet

d'une façon fort simple pour avoir rapidement la loi de XY (voire de X+Y)
on fait un tableau (une table de multiplication comme en primaire)

avec en ligne les valeurs de X et colonne les valeurs de Y on effectue les produits et ensuite pour une valeur donnée du produit on retrouve rapidement les valeurs possibles de X et Y