Variables aléatoires discrètes - Exercices

[Chameley]

Bonjour,

je suis nouveau sur le forum qui m'a l'air sympa.
Alors voilà, je suis en prépa ECE et je travaille actuellement sur les variables aléatoires discrètes, mais je ne comprends pas encore bien le chapitre, alors pourriez-vous m'aider ?

1er exercice : Soit X une variable aléatoire dont le support est X(omega)={-1;0;1} et telle que p(X=-1)=p(X=0)=1/4 et p(X=1)=1/2. On pose Y=|X|
1) Loi de Y ? Espérance de Y ?
2) Retrouver directement l'espérance de Y grâce au théorème de transfert.

Ce que j'ai fait : Si support de X = {-1;0;1} alors support de Y = {0;1}, pour donner la loi, je suppose qu'il suffit de faire le tableau avec les xi et les p(X=xi) où l'on a :
xi : 0 ; 1
p(X=xi) : 1/4 ; 1

Et là, c'est chose impossible, j'ai du faire une erreur de logique, bête, mais une erreur tout de même :mur:

Ensuite, pour la loi de transfert, il faut vérifier que somme pour k>=0 de (xk)*p(X=xk) converge absolument, mais ici aussi, je bloque, Y=|X|=xk ? Et que vaut p(X=xk) dans ce cas-là ?


Et un deuxième exercice, qui m'a l'air plus simple, mais à propos duquel j'ai donné ma langue au chat également : Soit 2 réels p et t (avec 0<p<1) ainsi qu'une variable aléatoire X telle que : X(oméga) = {0;1} et p(X=1)=p et p(X=0)=1-p.
Espérance de la variable aléatoire e^tX ?
Et je n'ai pas fait grand chose sur celui-là, à part calculer l'espérance de X mais je ne pense pas que ça serve à quelque chose ...


Voila, si quelqu'un pouvait m'aider, non pas me donner les réponses, mais simplement m'expliquer ce que j'ai fait de faux, et comment le rectifier. Merci d'avance, et bon début de soirée. :happy2:

[zygomatique]

salut

Y = |X|

P(Y = 0) = P(|X| = 0) = P(X = 0) = ....

P(Y = 1) = P(|X| = 1) = P(X = 1 ou X = -1) =P(X = 1) + P(X = -1) = ....

[Chameley]

Salut,
oui, donc c'est bien ce que j'ai fait, d'où p(Y=1) = 1/2+1/2=1 et p(Y=0)=1/4 d'où E[Y]=1+1/4=5/4.
Mais ça n'a aucun sens ! Ou bien alors je me trompe ?

Et pour le théorème de transfert ?

Et pour l'exercice 2 ?

[zygomatique]

Salut,
oui, donc c'est bien ce que j'ai fait, d'où p(Y=1) = 1/2+1/2=1 et p(Y=0)=1/4 d'où E[Y]=1+1/4=5/4.
Mais ça n'a aucun sens ! Ou bien alors je me trompe ?

Et pour le théorème de transfert ?

Et pour l'exercice 2 ?

n'importe quoi ....

[Chameley]

Re-bonsoir zygomatique, ai-je écris quelque chose d'offensant à votre égard ?
Si j'ai écris une grosse bêtise, alors n'hésitez pas à me rectifier, je voudrais comprendre où sont mes erreurs.
Merci d'avance, bonne soirée :happy2: .

Mince, je crois que je sais où je me suis trompé, E[Y]= 0*1/4 + 1*1, est ce bien cela ?

[zygomatique]

il n'y a rein d'offensant ....

seulement tu m'écris n'importe quoi deux fois de suite !!!

calcule moi sérieusement P(Y = 1) ....

[Chameley]

Ah mais c'est bien sur !!!
Mais où donc avais-je la tête ! p(Y=1)=p(X=-1)+p(X=1)=(1/4) + 1/2 = 3/4.

Je m'excuse, je devrais me concentrer plus sur mes exercices au lieu de laisser tomber aussi facilement, surtout à cause d'erreurs aussi bêtes.

Maintenant que cette énorme étourderie est passée, pourriez-vous m'expliquer ou du moins m'aiguiller (fortement) comment peut-on appliquer le théorème de transfert dans cet exercice ?

Il faudrait avant toute chose justifier que la Somme pour k>=0 de (xk)*p(X=xk) converge absolument, non ?
C'est une partie du cours que l'on a vu la semaine dernière, le jour d'avant les vacances, et je n'étais pas très enclin à la comprendre à cause de ce dernier facteur, pourriez-vous m'aider, une fois de plus ? :)
Dans mon exemple, xk=|X| non ?

[zygomatique]

je ne connais pas et ne comprends pas bien ce que tu dis ... mais la somme est finie puisque X prend un nombre finie de valeurs donc il y a surement convergence absolue ....

ou alors donne moi le théorème de transfert exactement ....

[Chameley]

Le théorème de transfert est le suivant : Soit X une variable aléatoire discrète et g une application de X(oméga) dans R.
La variable aléatoire g(X) possède une éspérance si, et seulement si, la série de terme général g(xn)*p(X=xn) est absolument convergente. Si c'est le cas, on a
E(g(X))= Somme pour xk appartenant à X(oméga) de g(xk)*p(X=xk).

Elle admet également une conséquence : Si Xi est une variable aléatoire admettant une espérance, alors quelque soit (a,b) appartenant à R^2, la variable aléatoire aX+b admet une espérance et on a : E(aX+b) = aE(X) + b

Je pense qu'il faut que l'on se serve de la conséquence, mais il faudrait alors d'abord démontrer le théorème dans un premier temps non ?

[zygomatique]

ben ici comme je l'ai dit c'est évident puisque les valeurs prises par X donc par Y sont en nombre fini ....

la fonction de transfert est : g(t) = |t| ....

mais il est aisé de calculer directement l'espérance de Y puisqu'on a sa loi ....