Variable aléatoire discrète

[adeelee]

Bonsoir tout le monde! Je bloque sur un exercice sur les variables aléatoires discrètes, voici l'énoncé:

Un fermier possède un troupeau de N vaches parmi lesquelles chacune a 15% de (mal)chance d'attraper la maladie de la Vache Folle. Pour dépister cette maladie on leur fait une prise de sang et on analyse ce sang. On peut procéder de deux manières différentes :
3
1. analyser chaque prise de sang séparément.
2. analyser un mélange des N prises de sang, et si le test se révèle positif, analyser ensuite chaque prise séparément.
On recherche la méthode la plus économique. Soit XN le nombre d'analyses réalisées par la méthode 2 et YN = XN/N
1. Quelle est la loi de YN ? Son espérance ?
2. On pose f (x) = x · ln 0, 85 + ln x. Montrer que f admet un maximum strictement positif. Quelle est la plus grande valeur entière de x pour laquelle f (x) > 0 ?
Montrer que f(n) > 0 ⇔ E(YN) < 1. Conclusion?
3. Proposer une méthode plus économique que celles décrites ci dessus et qui conviendrait pour un troupeau de 100 vaches (essayez d'optimiser votre démarche).

Je n'arrive même pas à trouver la loi de Yn, qui correspond au nombre d'analyses par la méthode 2 sur le nombre total de vaches.... Merci de votre aide!

[Ben314]

Salut,
Pour la méthode 2, il y a deux cas :
- Soit aucune des vaches n'est malade et un seul test "global" suffit à le montrer. Donc XN=1.
- Soit au moins une vache est malade et il faudra N tests "individuels" pour savoir lesquelles. Donc XN=N+1.

Bilan XN (et donc YN) ne prend que 2 valeurs et pour déterminer avec quelle proba c'est, il suffit de déterminer la proba qu'aucune des N vaches ne soit malade.

[adeelee]

Merci de votre réponse! J'ai réussi (depuis la publication du post) à avancer mais je bloque (déjà) sur la question 2)... Avez vous une piste?

[Ben314]

Ben... étudier les variations de f me semble être... une bonne piste...
(i.e. dérivée, puis signe de la dérivée, puis limites, puis tableau de variation)

[adeelee]

Je trouve comme dérivée f'(x)= 1/0,85 + 1/x ce qui me semble faux

[Ben314]

Oui, c'est effectivement faux....
La dérivée de la fonction x->ax (où a est une constante), c'est x->a
Par contre, la dérivée de la fonction x->ln(x), c'est bien x->1/x

[adeelee]

Je ne trouve pas l'erreur, la derivé de x est 1 mais quelle est la derivée de ln(0,85)?

[Ben314]

la derivé de la fonction x->x est la fonction x->1 mais quelle est la dérivée de la fonction x-> ln(0,85)?

Déjà, ce qu'on dérive, c'est pas des réels, mais des fonctions (et à l'écrire comme tu le fait, ça va très rapidement te faire écrire de grosses conneries).
Ensuite, qu'est ce que tu pense de la fonction x->ln(0,85) ?
C'est quoi sa courbe par exemple ?

[adeelee]

Sa courbe est croissante sur ]0;+inf[?

[adeelee]

Je suis désolé d'écrire des sottises mais je tombe sous la fatigue... Peut être pouvez vous m'eclairer pour la suite et pour la question 3 que je regarderais dès demain matin? D'avance merci

[Ben314]

La fonction x->ln(0.85), elle est constante vu que tout les x donne le même "résultat" (si tu préfère, on peut dire que ln(0.85), ben ça dépend pas de x) donc sa dérivée, c'est x->0.
De même, vu que ln(0.85) est constant (i.e. ne dépend pas de x), la fonction x->ln(0.85)x est de la forme x->ax (avec a constant) donc sa dérivée est x->a, c'est à dire x->ln(0.85).

Pour la suite de la 2),
- Pour trouver la plus grande valeur entière x telle que f(x)>0, utilise une calculette ou, mieux, un tableur : c'est x=17
- Pour la fin, tu as du trouver que E(YN)=1-(0.85)^N+1/N et donc E(YN)>1 ssi (0.85)^N>1/N et tu prend le logarithme des deux membres.

Pour la 3), a mon avis, il faut regarder (avec la machine ou un tableur) quel est le N qui donne le plus petit E(YN) : c'est N=3 qui donne E(YN)=0,719 et ça signifie que tu as intérêt à commencer par faire des "lots" contenant le sang mélangé de 3 vaches pour optimiser le nombre de tests (assez souvent aucune des 3 vaches ne sera malade et on y gagne au final)
Comme 100 n'est pas divisible par 3, je te laisse trouver comment gérer dans ce cas là (plusieurs solution et il faut regarder laquelle est la plus économique)