Valeurs et vecteurs propres d'une matrice

par **chrystelle** » 02 Oct 2007, 17:33

Bonjour à tous....

Je suis pas trop calé en maths... J'ai un devoir à remettre très prochainement et je suis un peu mêlé.

J'ai une Matrice(A) : 4 -2 2
2 0 2
-1 1 1

Je dois trouver les matrices modales et spectrale correspodant à cette matrice. Je sais que tout d'abord, je dois trouver le déterminant de cette matrice afin d'en resortir les valeurs propres mais je n'y arrive pas ....

Qqun pourrais m'aider a trouver le déterminant de cette matrice afin d'obtenir ses valeurs?

Merci d'avance

par **abcd22** » 02 Oct 2007, 19:57

Bonjour,
Pour trouver les valeurs propres dune matrice cest le polynôme caractéristique quil faut calculer, cest-à-dire ici :

Ça donne un polynôme de degré 3 en

dont les racines sont les valeurs propres de la matrice. Quest-ce que tu trouves comme déterminant ?

par **chrystelle** » 02 Oct 2007, 20:09

Je trouve 4 comme déterminant de la matrice

par **abcd22** » 02 Oct 2007, 20:15

Cest bon, et pour le polynôme caractéristique ?

par **chrystelle** » 02 Oct 2007, 20:15

Je trouve bien un polynôme de degré 3 mais je n'arrive pas à le retranscrire ici. J'ai un lambda (puissance 3)-2 lambda(puissance 2) + 5lambda -6

par **chrystelle** » 02 Oct 2007, 20:25

Je trouve bien un polynôme de degré 3 mais je n'arrive pas à le retranscrire ici. J'ai un lambda (puissance 3)-2 lambda(puissance 2) + 5lambda -6

par **abcd22** » 02 Oct 2007, 20:33

Jai

, tu as dû faire une erreur de calcul car il y a bien des vecteurs propres associés à 1 et 2 et ni lun ni lautre ne sont racines du polynôme que tu donnes.
Quand on calcule un polynôme caractéristique le but cest de trouver les racines donc il vaut mieux le laisser sous forme factorisée plutôt que de le développer, par exemple ici en remplaçant la colonne 1 par la colonne 1 + colonne 2 on trouve

et on peut mettre

en facteur pour avoir 2 1 dans la première colonne.

par **Joker62** » 02 Oct 2007, 20:39

Il y a déjà un problème !

On sait que le terme ne dépendant pas de Lambda dans le polynôme caractéristique vaut (-1)^n det(A) avec n l'ordre de la matrice !

Donc ici, ça devrait finir par -4
Tu trouves -6, donc tu t'es déjà plantée.

Le coefficient de X^(n-1) vaut -Tr(A)
Donc ça fait du -5 Lambda ²
Tu as encore faux.

C'est les techniques de bases pour voir si le polynôme à une chance d'être le bon.

Pour la technique du calcul, je ferais bien un L1 <- (L1 - L2)
Je mettrais en facteur Lamba - 2 On aurait alors L1 = -1 1 0
Ensuite L1 <- L1 - L3
On aurait L1 = 0 0 Lamba - 1

Je met Lambda - 1 en facteur dans L1, il me reste L1 = 0 0 1
Je développe le déterminant par rapport à la premier ligne, troisième colonne

On a det(A-Lambda) = (Lambda-2)(Lambda-1)(2-Lambda) = (lambda-2)²(1-lambda)

D'où 2 valeurs propres double, et 1 valeur propre simple

Edit : Grilled : il est l'heure d'aller s'pieuter :) Sans latex en plus :D

par **chrystelle** » 02 Oct 2007, 20:43

Tu as tout à fait raison j'ai fais bcp d'erreur de calculs... D'après ton calcul, le résultat serait bien : (2-\lambda)^2 (1- \lambda)? Serait-il possible pour toi de me montrer en détails comment tu en es arrivé à ce résultat?

par **Joker62** » 02 Oct 2007, 20:43

Moi j'ai détaillé !!!
Gnagnagna ! :p

par **chrystelle** » 02 Oct 2007, 23:05

La réponse c'est : (lambda-2)²(1-lambda) ou (2-lambda)²(1-lambda) ?

par **Joker62** » 03 Oct 2007, 17:37

C'est la même chose non ???

(-1)² = 1

par **tayraumuong** » 03 Oct 2007, 21:04

tu trouveras la réponse ici: :zen:

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