Valeurs propres d'une triangulaire superieure

[Mathusalem]

Bonjour,

En lisant mon cours aujourd'hui, je tombe sur le corollaire suivant :

Soit V, un F espace vectoriel de dimension finie. Soit T un opérateur linéaire. Soit B(v1, ...., vn) une base de V telle que [T]_{b,b} (notation pour une matrice) soit triangulaire supérieure.
Alors le spec(T) est l'ensemble des éléments de la diagonale de la matrice.

Autrement dit, les valeurs propres de cette application sont les éléments sur la diagonale. J'ai donc décidé de vérifier par moi-même, et j'aimerais savoir où j'ai faux.

Alors, je me suis dit, imaginons que j'aie trouvé une base telle que mon application linéaire ait cette gueule (peut-être est-ce là la faute? je doute..)


J'ai donc les valeurs propres 2, 3 ,4 pour une hypothétique application linéaire ainsi représentée dans une certaine base.
Ceci me dit qu'il existe v, v' et v'', tel que T(v) = 2v, 3v' et 4v'' respectivement, n'est-ce pas ? Alors je cherche ce v. Je fais la multiplication de l'application avec un vecteur (a,b,c), et j'obtiens le vecteur
(2a+5b+6c, 3b + 8c, 4c).
Or, quand j'essaie de poser ce vecteur égal à (2a, 2b, 2c), (3a, 3b, 3c) , (4a, 4b, 4c), pour trouver le vecteur qui satisfait ces conditions, je tombe toujours sur des abérations. Où est-ce que j'ai foiré ?

[alavacommejetepousse]

bonjour

sans doute après car jusque là tout va bien

[Mathusalem]

Et bien, quand je fais le calcul pour 2v, et 3v', alors j'ai les deux fois c = 0, et donc forcément b = 0 a = 0.

Quand je fais le calcul pour 4v'', alors c = 1, b = -8, et la dernière ligne j'arrive à 0 = 40 ou un truc du genre.

[Mathusalem]

Pour T(v) = 2v, tout va bien, ça c'est logique.

Pour T(v) = 3v, il j'arrive à 0 = 5 si je commence a resoudre depuis c

Pour T(v) = 4v, j'arrive à 0 = 34 si je commence a resoudre depuis c.

[girdav]

Salut,
je suppose que le problème vient de la résolution des systèmes. En fait on ne peut pas avoir une solution unique: ici, dans ce cas, l'ensemble des vecteurs qui satisfont à chaque système est un espace vectoriel engendré par un vecteur.
Par exemple, dans le premier système, il n'y a rien de fixé sur la première coordonnée.

[Mathusalem]

Salut,
je suppose que le problème vient de la résolution des systèmes. En fait on ne peut pas avoir une solution unique: ici, dans ce cas, l'ensemble des vecteurs qui satisfont à chaque système est un espace vectoriel engendré par un vecteur.
Par exemple, dans le premier système, il n'y a rien de fixé sur la première coordonnée.

Salut.
Oui d'accrod, mais en principe, je devrais être capable de déterminer des vecteurs particuliers des espaces , non ?

Car au premier système, j'obtiens le vecteur (1,0,0), et donc tous les vecteurs qui sont multiples de ce vecteur (l'espace engendré par ce vecteur) sont également solution, mais il n'en demeure pas moins que j'ai explicité 1 des vecteurs.

[Doraki]

Comment es-tu parvenu à 5=0 à partir de (2a+5b+6b,3b+8c,4c) = (3a,3b,3c) ?

[Mathusalem]

Par peur de me ridiculiser : On a

2a + 5b + 6c = 3a
3b + 8c = 3b
4c = 3c

On a donc c = 0
Par conséquent,
3b + 0 = 3b
donc b = alpha
2a + 5alpha = 3a
a = 5 alpha....

J'ai honte.. :)

Merci quand même :)

[Mathusalem]

Et si je reprends les vecteurs v, v1, v2 tel que T(v) = 2v; T(v1) = 3v1, T(v2) = 4v2; comme base de mon espace V, alors l'application sera diagonale n'est-ce pas (Ça me semble évident, mais dans le doute et vu qu'aujourd'hui les évidences m'échappent...)

[girdav]

Par peur de me ridiculiser : On a

2a + 5b + 6c = 3a
3b + 8c = 3b
4c = 3c

On a donc c = 0
Par conséquent,
3b + 0 = 3b
donc b = alpha
2a + 5alpha = 3a
a = 5 alpha....

J'ai honte..

Merci quand même

Et si était égal à ?

[Mathusalem]

Et si était égal à ?

Alors on aurait le vecteur (0,0,0) qui est aussi une possibilité, car c'est le vecteur propre associé à n'importe quelle valeur propre, i.e

T(0) = a*0 pour tout a.

[girdav]

On aurait que mais et s'expriment en fonction de .

[Mathusalem]

On aurait que mais et s'expriment en fonction de .

Oui, et si alpha est égal à zéro, alors vu que b et a dépendent directement de alpha, b et a sont aussi égaux à zéro. C'est normal, j'arriverai toujous à la solution également nulle..

Si je cherche Av = kv où A est une matrice, k un scalaire, v un vecteur, alors j'obtiendrai toujours la solution v = (0,.......,0) =

Vu que tout espace propre est un sous-espace vectoriel, il contient le zéro, qui doit donc egalement etre solution du système.
Donc si alpha = 0, c'est bon aussi

[Ben314]

Et si je reprends les vecteurs v, v1, v2 tel que T(v) = 2v; T(v1) = 3v1, T(v2) = 4v2; comme base de mon espace V, alors l'application sera diagonale n'est-ce pas (Ça me semble évident, mais dans le doute et vu qu'aujourd'hui les évidences m'échappent...)

Oui, dans ta base (v,v1,v2) la matrice de l'application est bien sûr diagonale.

Pour ton dernier post, fait attention, à peu prés tout le m'onde s'entend sur la définition suivante :
"Un vecteur propre de f:E->E est un vecteur non nul de E tel que f(v)=lambda.v pour un certain lambda du corps de base"

[Mathusalem]

Oui, dans ta base (v,v1,v2) la matrice de l'application est bien sûr diagonale.

Pour ton dernier post, fait attention, à peu prés tout le m'onde s'entend sur la définition suivante :
"Un vecteur propre de f:E->E est un vecteur non nul de E tel que f(v)=lambda.v pour un certain lambda du corps de base"

Merci pour ces clarifications.
A+