Valeurs propres d'une matrice carrée

[ProfesseurBell]

Bonjour à tous :happy2:

Alors, je vous préviens tout de suite je n'ai pas une formation de mathématicien mais de biologiste, je ne suis dons pas habitué à voir des expressions mathématiques très compliquées.

Mais voilà, j'ai une matrice carrée 3*3.
J'aimerais de l'aide dans la méthode pour trouver les valeurs propres de cette matrice qui, je précise, n'est pas triangulaire.

Je sais calculer le déterminant et la trace mais je ne sais pas trop quoi en faire.
J'ai lu des méthodes qui passent par le polynôme caractéristique pour en chercher ses racines. Mais est-ce que ce dernier est égal au déterminant ?

Enfin, voilà, vous l'avez sûrement compris, j'aurais besoin qu'on m'aide à organiser un peu tout ça.

Merci à ceux qui se pencheront sur mon problème. :hein:

[Nightmare]

Salut !

Le polynome caracteristique est le polynome det(M-xI) ou M est ta matrice, x la variable et I la matrice identite. Les valeurs propres de M sont ses racines.

:happy3:

[Nightmare]

Salut !

Le polynome caracteristique est le polynome det(M-xI) ou M est ta matrice, x la variable et I la matrice identite. Les valeurs propres de M sont ses racines.

:happy3:

Pour developper un peu, les valeurs propres de M sont les scalaires k tels qu'il existe X tel que MX=kX (autrement dit, M agit sur X - vecteur propre associe a k - comme une homothetie de rapport la valeur propre k )

Ecrit autrement, k doit verifier (M-kI)X=0 pour un certain X, c'est-a-dire que la matrice M-kI doit avoir un noyau non reduit a {0} et donc ne pas etre inversible. On cherche donc les k tels que M-kI ne soit pas inversible, ie tels que det(M-kI) soit nul!

:happy3:

[Heure]

Sinon on peut toujours intuiter les valeurs propres^^ quand elles sont faciles à voir en sommant les colonnes ou des petites astuces comme ça mais c'est opportuniste.

[ProfesseurBell]

Tout d'abord merci pour vos réponses super rapides ! :happy2:

Donc, si je vous suis... Imaginons que j'ai la matrice M, suivante :

Code: Tout sélectionner

A 0 B
0 C 0
D E F

pour calculer det(M-xId), ma matrice devient :

Code: Tout sélectionner

A-x   0     B
0     C-x   0
D     E     F-x

Du coup ça me fait alors :

Code: Tout sélectionner

det(M-xId)=(A-x)(C-x)(F-x)-DB(C-x)
det(M-xId)=(C-x)(A-x)(F-x)-DB
det(M-xId)=(C-Y)[x²-(A+F)x+AF-DB]

Et 2 valeurs propres de ma matrice sont donc les racines du polynome :

Code: Tout sélectionner

x²-(A+F)x+AF-DB

Et la troisième serait A-x=0 soit x=A.

J'ai bon ? :happy2:

[ProfesseurBell]

C'est pas ça ? :hein:

[girdav]

Je dirais plutôt comme troisième valeur propre.

[ProfesseurBell]

oulà ! oui en effet :happy2: désolé, trop de chiffres et de variables dans un week end pour moi :look: