Soit Q une matrice symétrique réelle de
On note
Soit V un sous espace vectoriel de
On notera
On pose :
Q désigne une matrice symétrique réelle inversible. On note
1/ Montrer que :
2/ Montrer que :
Je bloque sur la question 1.
Valeurs propres forme quadratique
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Valeurs propres forme quadratique
par mehdi-128 » 14 Nov 2017, 01:57
Bonsoir,
Soit Q une matrice symétrique réelle de)
On note 
le forme bilinéaire associée. Pour tout x et y de 
: =(Q x).y)
On note
la forme quadratique associée : = B_Q (x,x))
Soit V un sous espace vectoriel de on dira que est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) sur V lorsque :  >0)
respectivement  \geq 0)
respectivement  <0)
On notera
l'ensemble des sous espaces vectoriels sur lesquels est définie positive, respectivement 
et 
On pose :=\max_{V \in V^{+}} (dim V))
et =\max_{V \in V^{-}} (dim V))
Q désigne une matrice symétrique réelle inversible. On note=(\lambda_1 ,...,\lambda_n))
la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, )
le nombre de termes strictement positifs dans sp(Q) et le nombre de termes strictement négatifs dans sp(Q).
1/ Montrer que : \geq n^+ (Q))
et que  \geq n^- (Q))
2/ Montrer que : = n^+ (Q))
et  =n^- (Q))
Je bloque sur la question 1.
Soit Q une matrice symétrique réelle de
On note
Soit V un sous espace vectoriel de
On notera
On pose :
Q désigne une matrice symétrique réelle inversible. On note
1/ Montrer que :
2/ Montrer que :
Je bloque sur la question 1.
Re: Valeurs propres forme quadratique
par mehdi-128 » 25 Nov 2017, 00:59
J'ai toujours pas réussi des idées ?
Re: Valeurs propres forme quadratique
par mehdi-128 » 26 Nov 2017, 15:02
Q est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres. Soit (e1,...,en) une base orthonormée de R^n formée de vecteurs propres de Q associé à la famille )
Je prends :}))
sev vectoriel constitué des vecteurs propres associés aux valeurs propres strictement positives.
Soit
donc 
mais comment calculer : .x)
?
Je prends :
Soit
Re: Valeurs propres forme quadratique
par mehdi-128 » 07 Déc 2017, 02:10
Finalement j'ai réussi à montrer que : =(Qx).x=\sum_{i=1}^{n+(Q)} \lambda_i x_i ^2 >0)
car x est un élément de 
Donc est définie positive or : et ici V=H donc :
=n^+(Q) \leq r(\phi_Q))
Mais je n'arrive pas à montrer l'autre := \max_{V \in V^{-}} (dim V) \geq n^-(Q))
Auriez vous des pistes ?
Donc
Mais je n'arrive pas à montrer l'autre :
Auriez vous des pistes ?
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