P(A) à valeurs propres 2 à 2 distinctes

[acteon]

Bonjour,

1) j'ai cet énoncé:

A∈M_n (R) et P∈R[X] . On suppose que P(A) est une matrice triangulaire supérieure T dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts. Montrer que A est diagonalisable dans M_n (R). On pourra commencer par justifier que A est diagonalisable dans M_n (C)

2) J'ai réussi sans utiliser l'indication: j'ai P(A) = T = QDQ^-1 avec D a vp 2 à 2 distinctes.
Je pose alors M=Q^-1 . A. Q si bien que P(M)= Q^-1 P(A) Q = D.
On montre alors classiquement que M est diagonale (par exemple on commence par M commute avec D et comme valeurs propres distinctes alors ok) donc A diagonalisable

3) Mais il y a sans doute une autre méthode en passant par C et je ne vois pas trop. j'ai essayé par exemple:
je pose R= (X-λ_1 )…(X-λ_n) il est annulateur de P(A)
Donc (P(A)-λ_1 I_n )…(P(A)-λ_n I_n )=0 mais donc :
U=[P(X)-λ_1 ]…[P(X)-λ_n] est annulateur de A puis

- P(X)-λ_i et P(X)-λ_j n’ont aucune racine commune vue que λ_i≠λ_j
- mais rien ne dit que P(X)-λ_i est racines simples, exemple λ=0 qui a dit que P est à racines simples?

4) quelqu'un a-t-il une idée en passant par C puis pour le passage de C dans R? ça me fait penser à l'exercice classique montrer que deux matrices réelles semblables dans C sont semblables dans R mais ici ça ne sera a priori pas ça car il faudra commencer par montrer que les vp de A sont réelles.
Peut-être que cette méthode utilise davantage le fait que T est triangulaire, j'ai tout de suite diagonalisé, je vois pas trop quoi faire d'autre.

Merci!

[GaBuZoMeu]

Commencer par montrer que les valeurs propres (sur ) de sont deux à deux distinctes (quel rapport entre valeurs propres de et valeurs propres de ?).
Ensuite, montrer que ces valeurs propres sont forcément réelles (utiliser que et sont réels).

[acteon]

Merci pour ta réponse, si k est valeur propre de A alors P(k) est valeur propre de P(A). Mais bon la réciproque est fausse , donc qui dit que les valeurs propres de A sont deux à deux distinctes?
ensuite A peut être réelle, avoir ses valeurs propres complexes non réelles, mais que P(A) ait ses valeurs propres réelles: exemple A mat de rotation d'angle pi/2 et P = X^2
peux tu me dire plus où tu veux en venir stp?

[aviateur]

Bonjour
Soit les valeurs propres de A. Les éléments diagonaux de P(A) sont réels et sont les . Ce qui implique que A est diagonalisable sur En effet ses valeurs propres sont distinctes 2 à 2 et sont réelles (pour 2 nombres conjugués et on a implique ).

[GaBuZoMeu]

peux tu me dire plus où tu veux en venir stp?

Je voulais te guider vers la réponse à ta question, mais en ne te donnant qu'une indication pour que tu démarres. Raté, tu n'as pas démarré.
1°) Si , alors . Non ?
2°) Si était une valeur propre non réelle de , alors en serait une autre. En conséquence et seraient deux valeurs propres de P(A); mais celles-ci sont réelles et deux à deux distinctes ...

[acteon]

Merci, je bloquais un peu en utilisant un point de vue géométrique, mais en trigonalisant A dans C tout marche bien.
cordialement