Valeur de verité

[magy]

Bonsoir,je coince sur ceci:
1)Determiner la valeur de verité de la proposition suivante:
;)x>0 ;)y>0 ;)z si |z-2|2)Soit f:R--->R.Alors f(x) a pour limite L quand x tend vers x0 si,quel que soit ;)>0,il existe ;)>0 tel que |x-x0|<;) entraine |f(x)-f(x0)|<;)
Exprimer le fait que L n'est pas la limite de f quand x tend vers x0.

[Frede]

Je traite le cas où z>2. Je te laisse le soin de voir le cas où z<2 et surtout le cas où z=2.

Si z>2, alors abs(z-2)= z-2 et abs(z²-4) = z² -4

On nous demande de montrer qu'il existe au moins un y tel que si (z-2) lui est inférieur, alors (z²-4) est inférieur à tout nombre x positif.

(z²-4) inférieur à tout x positif, ça veut dire z²-4 inférieur ou égal à 0.

(z²-4) inférieur ou égal à 0, ça veut dire z inférieur ou égal à 2.

On nous demande donc de montrer qu'il existe au moins un y tel que si z-2 lui est inférieur, alors z est inférieur ou égal 2.

Ouf, on revient aux choses faciles.

Existe-t-il au moins un nombre y tel que (z-2)
Quand z est <2, z-2 est <0. Et pour que (z-2) soit Comme l'énoncé exige que y soit supérieur à 0, nous pouvons répondre "non, il n'existe aucune valeur possible pour y"

[Ben314]

Autre version...
Pour tout réel et tout , on a
fixé, peut-on trouver un tel que et qu'on cherche s'il y a une solution ) :
un tel existe : on peut par exemple prendre .

Aprés, à mon avis, en plus de savoir faire ce type d'exo par le calcul, il faut aussi comprendre le "sens" de la phrase et, en l'occurence, comprendre qu'une formule du style |z²-4|<x, ça dit que "z² est proche de 4 à moins de x prés"
Donc la question se résume à : "étant donné une précision x donnée, peut on trouver une précision y telle que, si z est proche de 2 à moins de y prés, cela entraine que z² est proche de 4 à moins de x prés ?"
Plus court : "Peut on rendre z² aussi proche que l'on veut de 4 en prenant z suffisement proche de 2 ?"
Arrivée là, j'espère que, intuitivement parlant, tu as la réponse à la question.

En plus, de comprendre le "sens" de la question, ben ça permet de bien voir que, lorsque le x sera trés proche de 0, il faudra évidement que le y soit aussi trés proche de 0.
Donc si à la fin de ton calcul tu trouve par exemple que ça marche avec y=1+x, ben c'est forcément faux.

[Frede]

J'avais l'impression d'avoir fait quel que chose de vachement bien d'autant plus qu'en me relisant, je me suis dit que je pouvais encore raccourcir et couper juste avant le mot "Ouf" puisque je termine en disant "alors z est inférieur ou égal à 2" alors que j'étais parti de l'hypothèse "z>2". Je pouvais donc m'arrêter avant le "Ouf" et dire "Impossible".

Mais en lisant la réponse de Ben, je crains de m'être mis le doigt dans l'oeil.

J'essaye de vérifier la réponse Ben en trouvant un exemple. L'essai que je fais échoue.

On peut prendre la valeur qu'on veut pour x. Je prends x=5.
Z est défini par le fait que val_abs(z-2)<y. Je prends z=2.2

Testons la valeur de y correspondant à la formule de Ben . Je prends y=

Dans ce cas, on doit avoir: Val_abs{z²-4} < x mais ce n'est pas le cas puisque 1.76 n'est pas inférieur à .

Alors, Ben, corrige-moi stp.

[Tiruxa]

On a bien 1,76 < 5 (car tu as pris x= 5, alors que 0,5 c'est la valeur de y)

Ceci dit si z= 2.2 z²=4.84 et z²-4=0.84 (non pas 1.76)

mais 0.84 < x puisque x = 5.


Ce qui ne va pas dans ton raisonnement c'est, à mon humble avis :

"(z²-4) inférieur à tout x positif, ça veut dire z²-4 inférieur ou égal à 0."

En effet on a (z²-4) inférieur à x qu'à condition d'avoir |z-2|

[Frede]

Je m'avoue vaincu. Ce petit exercice qui avait l'air si simple était finalement plutôt costaud.

Comment ai-je pu trouver 5.76 comme carré de 2,2 ? Je suis parti du fait que je connaissais le carré de 11 (121) et que je n'avais plus qu'à le multiplier par 4. Et en fait, c'est le carré de 12 que j'ai multiplié par 4 !

Pour ce qui est de comprendre mon erreur, j'avoue que ma petite tête n'y suffit pas. Tant pis, il y aura des exercices plus simples, je me rattraperai.

Par contre, j'adore les traductions de formules mathématiques en langage simple et j'apprécie:
"Étant donné une précision x donnée, peut on trouver une précision y telle que, si z est proche de 2 à moins de y prés, cela entraine que z² est proche de 4 à moins de x prés ?"
Plus court : "Peut on rendre z² aussi proche que l'on veut de 4 en prenant z suffisement proche de 2 ?"

Sous cette deuxième forme, je vois mal comment on pourrait répondre "non". Je vais réfléchir à une façon de résoudre le problème en le concevant sous cette forme.

[Tiruxa]

Plus court : "Peut on rendre z² aussi proche que l'on veut de 4 en prenant z suffisement proche de 2 ?"

Oui tu as parfaitement raison en fait on demandait est il vrai que :



Mais on a plus l'habitude de voir cela avec des epsilons et autres etas...

[Ben314]

Mais on a plus l'habitude de voir cela avec des epsilons et autres etas...

Oui, et autant avec l'habitude, j'arrive à faire un exo où le "epsilon" s'appele x et le "eta" s'apelle y, autant je pense que j'aurais du mal à rédiger sans me gourrer un exo qui commencerait par "soit x une fonction et f un réel..."

[Frede]

J'essaie de reformuler l'énoncé sous une forme plus conforme à mes habitudes.
Je rebaptise le y epsilon

On a un nombre x positif et un réel z quelconque.

X étant donné, existe-t-il toujours un nombre tel que, pour avoir val_abs(z²-4)2 pour me débarrasser de la valeur absolue.
La question devient:
X étant donné, existe-t-il toujours un nombre tel que, pour avoir z²-4<x, il suffise que z-2 soit < ?
Donc, on veut z²<x-4, qu'est-ce que ça implique pour z ?

Mais ça commence à devenir humain ! Quel dommage que je sois obligé d'aller chercher un gosse à la garderie! Je reprends ça dès que je peux!

[Frede]

Voilà, le petit bonhomme est maintenant en famille, papy peut retourner à ses maths. Ben et moi, avons rédigé notre message en même temps mais il a terminé avant moi. D'un côté, il dit qu'il lui serait difficile de retourner à l'ancienne terminologie et de mon côté, c'est ce que je m'efforce de faire. Tant pis, si ça le fait se sentir paumé à son tour, je poursuis ma tentative pour revenir aux maths de ma jeunesse.

J'ai écrit, on veut z²<x-4. En fait, étourderie de ma part, c'est z²< x+4. Ça implique . Et il faut trouver tel que implique . La solution, c'est bien sûr, .

Et voilà, j'ai retrouvé la bonne réponse. Oui, il existe toujours un y (ou un tel que si z se rapproche de 2 à moins de , alors la différence entre z² et 4 peut prendre la valeur qu'on veut, si petite soit-elle.

C'était pas si compliqué que ça. Et c'est vrai que ça revient à montrer que quand z tend vers 2, alors z² tend vers 4.

Il vous reste un peu de courage pour attaquer le 2°) ?

[magy]

Merci beaucoup pour votre aide!!C'est bon maintenant j'ai comlpris l'exo!!

[Frede]

Je réfléchis un peu au 2°) mais tout comme au 1°), je trouve la formulation de l'énoncé un peu bizarre.

On nous dit:
f(x) a pour limite L quand x tend vers x0 si,quel que soit >0,il existe >0 tel que |x-x0|<;) entraine |f(x)-f(x0)|<;)
Exprimer le fait que L n'est pas la limite de f quand x tend vers x0.

On nous demande simplement de mettre la 1ère phrase à la forme négative ? Eh bien, je propose:

L n'est pas la limite de f quand x tend vers x0 s'il n'existe pas pour tout (positif et aussi petit que l'on veut) une valeur (positive) telle que |x-x0|<;) entraine |f(x)-f(x0)|<;).

Quel intérêt ?

[Tiruxa]

[quote="magy"]
2)Soit f:R--->R.Alors f(x) a pour limite L quand x tend vers x0 si,quel que soit >0,il existe >0 tel que |x-x0|0,tel que pour tout réel , >0, il existe un réel x pour lequel on ait |x-x0|<;) et |f(x)-f(x0)| supérieur à .

[Frede]

Tu dis:
Il existe un réel , >0,tel que pour tout réel , >0, il existe un réel x pour lequel on ait |x-x0|<;) et |f(x)-f(x0)| supérieur à .

Ta réponse ne fait aucune référence à L (la mienne non plus d'ailleurs et l'énoncé non plus !). Est-ce qu'il ne faudrait pas remplacer |f(x)-f(x0)| par |f(x) - L)| (en rappelant que f(x0)=L)?