Valeur propre

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Archytas
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Valeur propre

par Archytas » 01 Fév 2017, 23:50

Salut,
Après le théorème "une matrice auto-adjointe H d'un espace euclidien complexe X dans lui-même a des valeurs propres réelles et une base de vecteurs propres qui forment une base orthonormale de X"
L'auteur écrit "Toute matrice réelle auto-adjointe H, il existe une matrice orthogonale M telle que
M*HM=D avec D diagonale réelle."
Dans la preuve pour justifier que les vecteurs propres de H peuvent être choisis réels il dit que si
H.f=a.f avec f vecteur propre et a valeur propre réelle alors les parties réelles et imaginaires de f sont aussi des vecteurs propres de H (là je suis). Puis "Il s'ensuit qu'on peut aisément choisir une base orthonormale de vecteurs propres réels de H dans chaque espace propre" et là je comprends pas trop lesquels il prend. Ce n'est pas parce que deux vecteurs sont orthogonaux que leurs parties réelles et imaginaires le sont, si? ça me semble logique mais quand je l'écris ça marche pas si bien.
Modifié en dernier par Archytas le 02 Fév 2017, 20:02, modifié 1 fois.



L.A.
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Re: Valeur propre

par L.A. » 02 Fév 2017, 00:25

Bonsoir,

il faut sans doute construire la base au fur et à mesure. On prend un premier vecteur v1 dans le sep. Quitte à prendre sa partie réelle, on peut supposer qu'il est réel. On considère F = son orthogonal inter le sep, et on y prend un vecteur v2. alors sa partie réelle et sa partie imaginaire sont aussi dans F puisque on aura genre



Quitte à le changer par sa partie réelle, on peut supposer v2 réel. Et ainsi de suite.

Archytas
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Re: Valeur propre

par Archytas » 02 Fév 2017, 02:13

Ah oui j'imagine que ça peut marcher, là je pense que c'est plus simple parce que l'auteur donne aucun détail et s'appuie seulement sur la démonstration précédente! Il dit aussi qu'on sait que les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Il dit ça après donc je sais pas si ça aide.

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Ben314
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Re: Valeur propre

par Ben314 » 02 Fév 2017, 10:29

Salut,
Archytas a écrit:...Ce n'est pas parce que deux vecteurs sont orthogonaux que leurs valeurs propres le sont, si ?
Déjà, ça, ca veut rien dire du tout : les valeur propres, vu le contexte, c'est des réels et parler de "réels orthogonaux", ça a franchement pas de sens.

Ensuite, c'est effectivement ce que dit L.A. qui fait marcher le bidule : lorsque tu as un s.e.v. F de dim d de C^n (ou R^n), tu sait évidement qu'il admet une base orthonormée (contenant d vecteurs) et si on te demande explicitement de construire une telle b.o.n. de F, ben tu fait un truc style Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt en construisant de proche en proche les vecteurs de la b.o.n.
Et là, le truc que dit le bouquin signifie que les nouveau vecteurs que tu "pioche" pour agrandir ta famille, tu peut les prendre à coordonnées réelles et, évidement, lorsque tu va les "redresser" (=Gram-Schmidt) pour les rendre orthogonaux aux vecteurs précédents qui sont déjà à coordonnées réelles, ben le résultat sera lui même un vecteur à coordonnées réelles.
Bref, si tu as un C- sous e.v. F de C^n dont tu sait que tu peut trouver une base (sur C) entièrement composée de vecteurs à coordonnées réelles, alors tu peut aussi trouver une b.o.n. de F entièrement composée de vecteurs à coordonnées réelles.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Archytas
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Re: Valeur propre

par Archytas » 02 Fév 2017, 20:08

Ben314 a écrit:Salut,
Archytas a écrit:...Ce n'est pas parce que deux vecteurs sont orthogonaux que leurs valeurs propres le sont, si ?
Déjà, ça, ca veut rien dire du tout : les valeur propres, vu le contexte, c'est des réels et parler de "réels orthogonaux", ça a franchement pas de sens..

Ah oui j'étais fatigué :D, j'ai corrigé je voulais dire "partie réelles et parties imaginaires". J'imagine que vous avez pas dû comprendre ma question du coup puisque c'était le but!

ok... le but était surtout de voir une nouvelle preuve. L'auteur, Peter Lax, l'a écrit dans le but de donner un autre point de vue de l'algèbre linéaire (plus analytique) et et donc il y a énormément de démonstration pas académiques dans le sens où elles ne visent pas la simplicité mais servent à donner un autre point de vue sur tel ou tel résultat. Malgré tout il arrive à rendre tout très clair (du coup sauf ça).

 

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