Valaurs propres d'une matrice avec un parametre

[tilt77]

Bonjour
j'ai cette matrice :

1 1 1
1 1 0
1 0 t
on demande de monter qu'elle a toujours trois valeurs propres :
a(t)en essayant de les calculer avec le polynome caracteristique je n'arrive pas a arriver a un produit de facteur premier(polynomes)
peut etre y a t'il une autre methode?
merci de me repondre

[Joker62]

Salut ;)
Ta matrice est symétrique donc diagonalisable.
La trace nous dis que la somme des valeurs propres vaut 2+t
Le déterminant nous dit que le produit des trois valeurs propres vaut -1
Ainsi il faut démontrer qu'elle possède 3 valeurs propres qui satisfait ta relation.

[tilt77]

merci de la reponse je n'avais pas fait attention a ce que la matrice etait symetrique

[tilt77]

je ne comprend pas ce que tu veut dire par :
"Le déterminant nous dit que le produit des trois valeurs propres vaut -1"

[Joker62]

Deux matrices semblables ont le même déterminant.
On sait que dans une base de vecteur propre ta matrice est diagonale avec les valeurs propres sur la diagonale.
Le déterminant d'une matrice diagonale c'est le produit des coefficients.

Ici la matrice est de déterminant -1 donc la matrice diagonale qu'on va trouver le sera aussi.

[tilt77]

merci c'est plus clair
en fait il faut juste prouver l'existence des valeurs propres et non pas les calculer

[Joker62]

Voilà, faut expliquer pourquoi y'en a pas de une ni deux
Et là ça marche à coup de disjonctions de cas.

[tilt77]

en effet
mais apres comment sait on que a(t)b(t)<2

[Joker62]

Bééé comme le produit des trois est négatif
Y'en a un nombre impaire de négatif
Donc soit 1 soit 3
On essaye de vérifier qu'avec les trois c'est pas possible

Donc on peut écrire :
a(t) < 0 < b(t) < c(t) (Parce que aucune ne peut être nulle)
Il reste à utiliser que la somme des trois vaut 2+t sans doute.

[tilt77]

merci en tout cas pour l'indication
avec ça je peut avancer (j'avais oublier cette partie du cours:trace d'une matice)