Utilisation de la definition de la limite

par **road runner** » 13 Avr 2007, 11:29

bonjour

comment utiliser la definition de la limite (avec les epsilon....) pour montrer que

limite quand (x,y)=>(2,3) de f(x,y)=x*y est egale à 6

merci d'avance

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 11:46

bonjour
ben en revenant au déluge
e = l xy -6 l = l xy -3x +3x -6 l =< l x l l y-3 l + 3l x-2 l

en imposant x dans [1,3]
e =< 3 l y-3l +3 l x-2l

soit 1> epsilon >0 on prend alpha = epsilon / 6
et pour (x,y) telq que ll (x,y)-(2,3)ll infini =< alpha on a

e = < epsilon /2 +epsilon /2 = epsilon

par **road runner** » 13 Avr 2007, 11:51

est ce que faire ca est juste :

|xy - 6| 6|1/6 xy - 1| < e
donc |1/6 xy - 1| < e/6

donc il suffit de prendre alpha < ou egale à e/6

par **serge75** » 13 Avr 2007, 11:53

Non c'est faux : relis bien la définition de la limte. qui est sensé être plus petit que alpha pour entrainer que machin est plus petit que epsilon ?

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 11:55

ça te va pas ce que j 'ai fait ?

par **road runner** » 13 Avr 2007, 11:56

c'est |x - 2|
c'est bien ca ??

pouvez vouz,svp m'expliqué comment on travaille avec la definition pour montrer que L est bien limite d'une fonctioon donnée

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 11:59

heu

je VIENS de le faire

sur ton exemple

par **road runner** » 13 Avr 2007, 12:00

en fait j'ai pas bien compris toutes les etapes

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 12:04

puisque tu maitrises pas les limites pourquoi prendre une fonction de deux variables pour une seule c'est le même principe et plus simple
x->f(x) limite L réelle en x0 réel

on fixe epsilon >0 et on cherche alpha >0 tel que dès que l x-x0 l < alpha

alors l f(x) -L l
pour cela on essaye de majorer l f(x) -L l par quelque chose qui dépend de l x-x0l quitte à imposer A PRIORI l x-x0l < alpha0 fixé

par **road runner** » 13 Avr 2007, 12:06

un exemple ???; stp

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 12:12

je supporte excessivement mal les triples points d'interrogation, d'exclamation, voire de suspension

f(x) = x^3 , x0 = 2 , L = 8

x^3 - 8 = (x-2) (x^2 +2x+4)

on impose alpha0 = 1 donc l x-2l<1 donc 0< x <3

d'où 0
d'où

l f(x) -f(2) l =< 19 l x-2l

soit epsilon >0 on prend alpha = min (epsilon /19; 1)
et on a bien pour x tel que l x-2l=< alpha lf(x)-f(2) l< epsilon

par **road runner** » 13 Avr 2007, 12:20

dsl
mais pourquoi on pose alpha =1

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 12:23

alpha0 pour majorer "brutalement" ce qui est en facteur de l x -2l

par **road runner** » 13 Avr 2007, 12:28

je vais voir ,merci .

par **road runner** » 13 Avr 2007, 12:31

et pour deux variables comment on fait ?

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 12:32

je t'en prie
n'hésite pas à redemander
la manipulation des epsilons est qq chose de délicat pour bcp ; mon exemple est simple et pourtant contient l'essentiel de ce qui pose problème

cf rain : on veut pas la mort du tit cheval :)

par **road runner** » 13 Avr 2007, 12:45

pour voir si j'ai bien compris :
dans cette exemple: f(x)=,x0=0 et L=1
on cherche |x||racine(x+1) - 1|et on a |racine(x+1) - 1|<=|x| donc pour avoir |racine(x+1) - 1|
donc on essaye de majorer f(x)-L par quelque chose qui ressemble à |x-x0|ou qui nous permet de majorer |x-x0| en fonction d'epsiln ,c'est bien ca?

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 12:54

ton exemple est correct à condition de prouver l 'inégalité avancée

lracine(x+1) -1 l=< l xl et il suffirait même de la prouver pour x assez proche de 0 d'où l 'utilisation ( éventuelle) du alpa0 de sécurité
pour deux variables c'est souvent plus compliqué mais il ya des cas où on arrive à "séparer" les variables
l f(x,y) -L l =< lg(x) -L' l +lh(x) -L" l comme sur le premier exemple

par **road runner** » 13 Avr 2007, 13:01

tu pourais me donner un lien pour les limite de fonction a deux variables utiliasant la definition ou a defaut un exemple ,stp

par **fahr451** » 13 Avr 2007, 13:25

désolé je ne connais aucun site

wikipédia est souvent très bien faite

Utilisation de la definition de la limite

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