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par **pouquette** » 10 Déc 2006, 17:56

besoin d'aide pr un peti exo d'algèbre linéaire voici l'énoncé:

"Soient E=Rn[X] et x0,...,xn des réels 2 à 2 distincts. On défini pr tt i=0,...,n l'application Fi de E vers R par Fi(P)=P(xi). Montrer ke Fi appartient à E*, ke (Fi) est une famille libre et en déduire ke c une base de E*."

merci de m'aider

par **fahr451** » 10 Déc 2006, 17:58

Fi dans E* c est fait ?

par **pouquette** » 10 Déc 2006, 18:10

non je voi pa commen on fai

par **fahr451** » 10 Déc 2006, 18:15

il faut montrer que
Fi va de E dans R : à tout polynome P on associe bien un réel P(xi)
Fi est linéaire

par **pouquette** » 10 Déc 2006, 18:19

merci je v essayé de montré ça

par **pouquette** » 10 Déc 2006, 18:39

:doh: je n'y comprend vraiment rien

par **fahr451** » 10 Déc 2006, 18:44

l espace vectoriel de départ est Rn[X] un vecteur est donc un polynôme P
la linéarité de Fi ("par rapport au vecteur P") s'écrit :
Fi(aP+bQ)= aFi(P) +bFi(Q) où P,Q sont deux polynômes et a,b deux réels (scalaires notés plutôt avec l'alphabet grec)
la linéarite s'écrit ici :
(aP+bQ) (xi) = aP(xi) +bQ(xi) ce qui est vrai.

par **pouquette** » 10 Déc 2006, 18:48

en fait j'avais réussi à le montrer mais ce qui me bloque c'est de montrer que c'est une famille libre
je sais je ne suis pas du tout douée

par **fahr451** » 10 Déc 2006, 18:54

c 'est plus dur

prenons a1,...,an n réels tels que
a1F1 +...anFn = 0 montrons que les ai sont tous nuls

on a pour tout P
a1F1(P)+...+anFn(P) = 0
à savoir :
a1P(x1) +...+anP(xn) = 0

il faut bien choisir P
en prenant P qui vaut 1 en a1 et qui s 'annule en a2,...,an ( un tel P existe bien)
on trouve a1= 0
etc finalement tous les a1 sont nuls; la famille (F1,...,Fn)est libre

par **pouquette** » 10 Déc 2006, 19:03

merci beaucoup pour ton aide

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