[MPSI] Unions

[Euler07]

Bonjour

Avec I = J = R pourquoi ?

:livre:

[capitaine nuggets]

Bonjour

Avec I = J = R pourquoi ?

:livre:

Salut !
Ce problème me dépasse beaucoup, toutefois, ne pourrais-t-on pas utiliser la fonction indicatrice d'Euler : .

On pourrait ainsi montrer, si on pose , que .

P.S. : Je ne suis pas sûr de savoir si :

"" équivaut à ""

[Doraki]

Eh bien par exemple, pour i= 24, on a que 77 n'est pas dans ton intersection parceque pour j = 135, 77 n'est pas dans l'intervalle [24+135; +l'infini[ (puisque 77 < 159).

[Euler07]

Doraki, je n'ai pas du tout compris, as tu oublié un mot dans ta phrase par hasard. Peux tu me donner un autre exemple s'il te plait

:livre:

[Lud]

Par l'absurde, si on a un i_0 tel que ton ensemble n'est pas vide, alors il existe un x tel que pour tout j, x > i_0+j;
Cela signifie que x est plus grand que tous les nombres réels. C'est impossible.

[Doraki]

Prend i=24.
Tu souhaites montrer que ,
c'est-à-dire que pour tout x de R, x n'est pas dans cette intersection.
Par exemple on souhaite montrer que 77 n'est pas dedans.
Par définition de ce qu'est qu'une intersection, pour montrer que 77 n'est pas dans l'intersection il suffit de trouver un j dans R tel que 77 n'est pas dans [24+j ; + l'infini[.
Bah c'est ce que j'ai fait. Je me suis dit "Tiens et si je prenais j = 135 ?", j'ai regardé, et j'ai trouvé que 77 n'est pas dans [24+135 ; +l'infini[, ce qui montre que 77 n'est pas dans ton intersection pour i = 24.

Maintenant je pense que tu peux essayer de reproduire le raisonnement en prenant un x quelconque et un i quelconque.

[Euler07]

Merci Lud pour ton explication par l'absurde
Ah là j'ai très bien compris Doraki =)
Quand on se fixe un i par exemple 3, et bien si je veux montrer que 4 n'est pas dans l'intervalle [3+j,+00[ il suffit de prendre un j = 5. Ainsi on peut raisonner de la même façon pour tout les réels

:livre:

[chbichib]

salut raisonner par l absurde ...tu supposes qu'il existe x la de dans ...et tu trouveras qu’a partir d'un certain rang x n'appartient pas a cet intersection ...

[Euler07]

Avec I = J = R on demande que ce passe t -il quand ?

Je voulais appliquer le raisonnement de Doraki ou par l'absurde mais je n'y parvient pas :/

:livre:

[Skullkid]

Si tu essayes de montrer que cette union est vide (le seul moyen d'avoir une union vide c'est que tous les ensembles soient vides), oui tu risques d'avoir du mal. Prends des exemples. Genre j = 7. Est-ce que 53 appartient à l'union ?

[Euler07]

Oui Skullkid, d'ailleurs j'ai comme l'impression que n'importe quel réel appartient à cette union. Le résultat serait ce R ? Et comment le démontrer proprement ?
Ah ba non qu'est ce que je raconte avec i = 60 on voit bien que le nombre n'appartient pas là dedans

:livre:

[Skullkid]

Si i = 60, quel nombre n'appartient pas à qui ?

[Euler07]

Si i = 60, quel nombre n'appartient pas à qui ?

Si i = 60 et j = 7 et bien 53 n'est pas dans [60 + 7, +oo[

:livre:

[Skullkid]

Certes, mais si tu prends i = 0 par exemple ?

[Euler07]

Dans ce cas 53 est dedans mais où veux tu en venir ? 53 n'est pas dans tout les intervalles, dans certains enfin à partir de i = 53 - 7

:livre:

[Doraki]

Oui et donc finalement, est-ce que 53 appartient à cette réunion ?

[Euler07]

Ah voilà, je vois pourquoi je ne comprenais pas =)
C'est l'union que j'ai pas fait gaffe, en fait il existera toujours un i tel que x (dans R) appartient à cette union. Mais y a t il une démonstration sans utiliser d'exemple ?

:livre:

[Doraki]

Oui, si tu parviens à trouver par exemple une méthode infaillible qui donne, en fonction de x et de j dans R, un réel i tel que [i+j ; + l'infini[ contienne x.
Ensuite il ne reste plus qu'à montrer que ta méthode fait bien ce qu'on attend d'elle et c'est bon.

[Euler07]

Ok

Alors pour la première (l'intersection, dans l'hypothèse où on ne connait pas le résultat qui est l'ensemble vide) :

Pour tout i de R, pour tout x de R, il existe j de R tel que i + j > x Mais j'aimerais conclure correctement :/

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[Doraki]

Ben "Pour tout i de R, pour tout x de R, il existe j de R tel que i + j > x" est la traduction directe de "l'intersection est vide".
Donc il faut juste démontrer cette phrase.
Pour cela il faut que tu expliques comment trouver un tel j en fonction de x et de i.