Union de segments connexe

[azboul]

Bonjour à tous,

Voilà mon énoncé,

[CENTER]Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie.

Soit A,B deux ensembles connexes inclus dans E.

Montrer que C = l'union des segments joignant deux points arbitraires de A et B est connexe.[/CENTER]

Je sais qu'un segment dans R est connexe mais que dire d'un segment dans un ev de dim finie ?
J'ai tenté de montrer que C était connexe par arc mais en vain (je n'ai pas l'hypothèse de connexité par arc pour A, B)
De plus je ne sais pas si je peux considérer que l'union des points de A est dénombrable.

Quelqu'un aurait-il une piste siouplé ?
Merci d'avance.

[tize]

Bonjour,
oui, un segment d'un e.v. en général est connexe : .
Tu peux montrer que C est connexe par arc, en effet si alors plusieurs cas :
1) et (ou le contraire) alors le segment fait partie de donc pas de problème.
2) et sont tous les deux dans le même ensemble (par exemple ) alors on choisit et les segments et sont dans et le chemin obtenu par concaténation de ces deux segments est alors dans .
3) Ni ni ne sont dans mais ils sont alors sur des segments : et avec et ce qui permet de relier et par un chemin dans .

[azboul]

Ok merci beaucoup pour ta reponse !

En fait il me manquait juste l'hypothèse qu'un segment dans un EV fini est connexe !

Sinon pour ma culture perso (et pour la suite des études déja !), dans le cas de l'énoncé, puis-je dire l'union des pts de A est dénombrable ?
A mon avis je en pense pas...

[tize]

Non, il n'y a aucune raison de penser que A est dénombrable...

[azboul]

Merci bien de me le confirmer ;)