Uniformément continu - définition

[LaGhitite]

Bonjour,

J'ai peur de dire une grosse connerie mais je me lance. Il faut que je montre que la fonction f:x->sin(x²) n'est pas uniformément continue sur R. La correction de l'exo passe par des suites...etc, un truc auquel j'aurais jamais pensé. J'avais plutot pensé a passer par la negation de la definition comme ca :
il existe (x, x') = (sqrt(Pi/2), sqrt(Pi)) appartenant a R² tel que il existe € = 1/2 > 0 qq soit Alpha > 0 |x-x'| € = 1/2.
Est ce que ca montre que f n'est pas uniformément continue sur R ?
Je me pose la meme question pour la limite de fonctions.

Merci

[fahr451]

bonjour

y a un exo agréable
soit f uniformément continue sur R+ telle que l'intégrale sur R+ existe montrer que f tend vers 0 en + infini

application en déduire que x-> sin(x^2) n'est pas uniformément continue sur R+

[abcd22]

Bonjour,

J'ai peur de dire une grosse connerie mais je me lance. Il faut que je montre que la fonction f:x->sin(x²) n'est pas uniformément continue sur R. La correction de l'exo passe par des suites...etc, un truc auquel j'aurais jamais pensé. J'avais plutot pensé a passer par la negation de la definition comme ca :
il existe (x, x') = (sqrt(Pi/2), sqrt(Pi)) appartenant a R² tel que il existe * = 1/2 > 0 qq soit Alpha > 0 |x-x'| * = 1/2.
Est ce que ca montre que f n'est pas uniformément continue sur R ?

Bonjour,
La définition de la continuité uniforme c'est
:
tel que [l'intervalle qui nous intéresse] tels que tel que [l'intervalle qui nous intéresse] tels que tel que [l'intervalle qui nous intéresse] tels que [tex] | x-x'| 0.

[LaGhitite]

Ok merci beaucoup, votre explication est geniale, et j'ai maintenant bien compris en quoi ma demo est fausse.
Vraiment merci beaucoup parce que c'etait un probleme recurrent depuis la sup.

Merci, bonne continuation

Alex

[LaGhitite]

Ah et j'ai regardé l'exo de fahr, mais je n'y arrive pas, si tu pouvais me donner une correction ou une piste pour que je debloque :)

Merci

[fahr451]

oui par exemple par l'absurde en supposant que f ne tend pas vers 0


on va trouver un epsilon et une suite (xn)

avec f(xn) > 2epsilon ( quitte à prendre -f)

puis par uniforme continuité pour cet epsilon

un alpha >0 tel que sur [xn, xn+alpha] f(t) > epsilon

puis l intégrale sur xn , xn +alpha supérieure à epsilon X alpha

ce qui contredit le critère de cauchy et la cv de l'intégrale



application :

l 'integrale de sin(x^2) cv ( faire un changement de var)

sin(x^2) ne tend pas vers 0 donc sin(x^2) par uc