Unicité du supremum d'un intervalle

[baptisted]

Bonjour à tout le monde.

Je viens de finir ma Tmle S et je rentre l'année prochaine en MpSi. Dans cette perspective, j'ai entrepris d'étudier le cours de Lucas Braesch (sur la partie contribution de la section Terminale du site bacamath.net).

Alors tout se passe bien jusqu'au 1.5 (l'ensemble R) du premier chapitre
Il s'agit du théorème 7 (que je rappelle ici):

[CENTER]" Si X est une partie non vide majorée de R alors


s s'appelle borne supérieure (ou extremum) de X et se note supX"[/CENTER]

L'existence étant admise, la démonstration de l'unicité est laissée au lecteur.

Je commence donc :

" On suppose que s et s' sont deux supremum de X
càd :
[CENTER][/CENTER]

et

[CENTER][/CENTER]

et là je ne sais plus quoi faire

alors si l'un d'entre vous pouvait me venir en aide je lui serai très reconnaissant. Merci d'avance.

PS : J'ai mis cet article dans la partie superieure du site car je ne crois pas que cette question soit vraiment au programme de Terminale, dans la mesure où le cours que j'étudie est d'un niveau légèrement au dessus.

[abcd22]

Bonsoir,
Si x < x', on peut prendre dans la propriété vérifiée par x'...

[baptisted]

Si x < x', on peut prendre = x' - x dans la propriété vérifiée par x'...

S'agit-il de s < s' ? Ou prend-t-on plutôt deux x de l'intervalle X ?

Parce que dans le premier cas, on a :
[CENTER][/CENTER]

et cela signifierait que c'est suffisant pour démontrer s=s' ?

[Nightmare]

Salut :happy3:

Il est beaucoup plus simple d'écrire : la borne supérieure d'un ensemble est le plus petit de ses majorants. A partir de là, il est alors clair qu'elle est unique.

:happy3:

[baptisted]

C'est vrai que cette définition simplifie grandement les choses

mais pour revenir à un cas plus général, est-ce que le fait d'avoir :
[CENTER][/CENTER]

est suffisant pour dire que s=s' ? Parce intuitivement, ça ne me parait pas aberrant, mais je ne vois pas comment le démontrer, ou alors, si c'est évident, je ne vois pas d'où ça sort...

[mathelot]

Supposons par l'absurde qu'il existe deux bornes supérieures s et s'.
soient par exemple s < s'.

alors il existe tel que:
s < x < s' d'après la définition de s'.
ceçi contredit la définition de s.

[baptisted]

Supposons par l'absurde qu'il existe deux bornes supérieures s et s'.
soient par exemple s < s'.

alors il existe tel que:
s < x < s' d'après la définition de s'.
ceçi contredit la définition de s.

Effectivement, c'était simple, je m'en veux de ne pas avoir pensé à ça . En tout cas merci beaucoup à vous tous pour vos réponses !

[leon1789]

mais pour revenir à un cas plus général, est-ce que le fait d'avoir :
[CENTER][/CENTER]

est suffisant pour dire que s=s' ?

La réponse est non : ces hypothèses impliquent (elles sont même équivalentes à celà), mais pas du tout s=s' !

[miikou]

m= max(s,s')
n= min (s,s')
alors tu as un x dans X tq x soit dans [m-(m-n)/2, m[
impossible car m-(m-n)/2 > n :)

[baptisted]

Supposons par l'absurde qu'il existe deux bornes supérieures s et s'.
soient par exemple s < s'.

alors il existe tel que:
s < x < s' d'après la définition de s'.
ceci contredit la définition de s.

On montre là que (P) : "il existe deux bornes supérieure" est fausse.
Donc (non(P)) est vraie.

Question : la négation de "il existe deux ... " est elle "il en existe un unique" ?

[mathelot]

re,

il en existe au plus une.

quelque fois , aucune.
Par exemple
ensemble majoré , sans borne supérieure.

s'il existe une borne supérieure , elle est unique
exemple:
sup arctangente

[Lierre Aeripz]

Par exemple
ensemble majoré , sans borne supérieure.

Pas de borne sup rationnelle ! Mais dans cet ensemble en a bien entendu une.