Unicité d'un couple d'entiers

par **prody-G** » 08 Juin 2008, 12:25

Bonjour à tous,

mon problème est le suivant :
Soient n et m deux entiers naturels non nuls.
Montrer que pour tout entier r dans [1,nm], il existe un unique couple (i,k) de [1,n]x[1,m] tel que r=i+(k-1)n.

J'ai pensé à une récurrence sur r mais est-ce que ça se fait des récurrences sur un nombre fini de termes ?

merci d'avance.

par **raito123** » 08 Juin 2008, 12:31

Je sais pas pourquoi mais mon petit doigt me parle d'une division euclidienne !!!???

par **kazeriahm** » 08 Juin 2008, 13:19

C'est bizzare tton énoncé :

si je prends n>m>1, en prenant r=nm il me semble que ton (i,k) n'existe pas.
Pour rendre i+(k-1)m maximal il faut prendre i=n et k=m.

Or n>m donc n(m-1)>m(m-1) et ainsi nm>n+(m-1)m donc r=nm n'est atteint par aucun entier de la forme i+(k-1)m quand i est dans [0,n] et k dans [0,m]

par **prody-G** » 08 Juin 2008, 13:29

ah ui désolé je me suis trompé dans l'énoncé c'est r=i+(k-1)n et là on aurait effectivement pour r= nm = n + (m-1)n.

merci pour ton indication raito123, j'ai regardé mais ça me donne pas mal de cas à considérer puisque qu'en essayant la DE de n+r par n je n'obtiens comme information qu'il existe a et b tels que

n+r = an + b avec

par **raito123** » 08 Juin 2008, 14:31

Je ne suis pas trés sûr de ce résultat donc je vous prie de me dire si c'est juste (ou pas):

On a

On suppose que la division euclidienne de n+r par n donne :

On a alors

et puisque r'-n < 0 et n dans N alors

ce qui donne

en posant k'= k et r' = i alors on a un unique couple (i,k) dans [1,n]x[1,m] tel que r=i +(k-1)n ^^

A++

par **prody-G** » 08 Juin 2008, 18:28

oui ça me paraît bon mais il manque le cas r'=0.
Si c'est le cas, n divise r...pour lequel il faudrait trouver une contradiction...mais laquelle ^^' ?

par **leon1789** » 08 Juin 2008, 19:07

prody-G a écrit:oui ça me paraît bon mais il manque le cas r'=0.
Si c'est le cas, n divise r...pour lequel il faudrait trouver une contradiction...mais laquelle ^^' ?

il n'y a pas de contradiction à trouver dans ce genre d'énoncé ou de réponse : toujours la déformation de l'esprit mathématique. :cry:

Pour l'unicité du couple

:
si

, alors

est multiple de n. Or

donc

. Et puis forcément

.

Pour l'existence :
oui, la division euclidienne par n est une bonne idée. Mais c'est la division de x-1 par n qu'il faut prendre, i.e.

. On obtient

et

.

par **raito123** » 08 Juin 2008, 19:08

Quel contradiction : il se peut que n divise r !!

T'es sûr que

?

Sinon on peut penser subdiviser le k par exemple

donc le

.

Reste à montrer que

qui est facile : on a

donc

Je pense que mtn c'est bon !!

par **raito123** » 08 Juin 2008, 19:10

leon1789 a écrit:(...) toujours la déformation de l'esprit mathématique.

(...)

Hum.... et ça veut dire quoi au juste !!!?

par **leon1789** » 08 Juin 2008, 19:13

raito123 a écrit:Hum.... et ça veut dire quoi au juste !!!?

... C'est un jeu entre moi et... moi... :we:

En fait, je n'aime pas les contractions, et je trouve que bcp de gens en font souvent trop et inutilement , voire pire... (dans une sciences non contradictoire a priori)

par **raito123** » 08 Juin 2008, 19:18

Oui je l'ai remarquer mais la démonstation par absurde est parfois utile interessante et bcp plus belle à voir !!

C'est vrai qu'ici on ne trouvera pas de contradiction par ce que pour la simple raison qu'il y en a pas mais dans d'autres exo ( genre montrer une unicité ) ce genre de démonstration serait plus fructueux :happy3:!!!

par **leon1789** » 08 Juin 2008, 19:25

raito123 a écrit:Oui je l'ai remarquer mais la démonstation par absurde est parfois utile interessante et bcp plus belle à voir !!

Pas évident...
C'est pour ça que je n'hésite jamais (si je sais le faire !) à donner une preuve sans le mot "absurde".

Unicité d'un couple d'entiers

unicité d'un couple d'entiers

Qui est en ligne