Une surjection de N sur Q

[ParLaLaSortie]

Bonjour,

Je suis en train de livre un bouquin de théorie de la mesure, et dedans on exhibe une surjection de N sur Q:

n---> q(n) = (n-m^3 - m^2)/(m+1), où m est l'unique entier tel que m^3 <= n < (m+1)^3

Ils disent que la vérification du fait que cette application est surjective est immédiate et laissée au lecteur.

Ben voilà: ca fait deux jours que je suis dessus, et j'arrive toujours pas à trouver...

Je commence à stresser...

help please

merci

[yos]

Bonjour,

Je suis en train de livre un bouquin de théorie de la mesure,

Bonne idée.

Ils disent que la vérification du fait que cette application est surjective est immédiate et laissée au lecteur.

Ben voilà: ca fait deux jours que je suis dessus, et j'arrive toujours pas à trouver...

Immédiat= jusqu'à 12 jours.

Je commence à stresser...

C'est très mauvais.


Revenons au problème :

m fixé. Pour tous les n tels que ,
tu as-m²/(m+1)<= q(n) < 2m+1 .
Tous les rationnels de dénominateur m+1 et compris dans l'intervalle
sont des q(n) puisque
lorsque n et n+1 sont compris dans l'intervalle .


Tu prends un rationnel x=a/b. Tu veux que x soit égal à un certain q(n). Donc il faut le coincer dans un intervalle du type précédent, ce qui peut se faire d'une infinité de façons car ces intervalles s'élagissent en même temps que m grandit. Il te faut choisir une façon telle que le dénominateur m+1 soit un multiple de b : m+1=kb.
Ce qui est clairement toujours faisable: il suffit que l'on ait :
-(kb-1)^2<= ka<2k^2b^2-kb

Exemble : x=1507/23
a=1507, b=23. Tu cherches un entier k tel que
-(kb-1)^2<= ka<2k^2b^2-kb
k=3 marche.
Tu poses donc m+1=kb=69, donc m=68, et tu prends les entiers n compris entre 68^3 et 69^3-1.
Tu prends n=4521+68^3+68^2 et tu as q(n)=x .

J'ai pas tout détaillé et je suis conscient de la qualité médiocre de ces explications.
C'est long à écrire. Pour comprendre, rien ne vaut des exemples dans ce genre de problème.

[ParLaLaSortie]

Merci Yos, c'est clair.