Une suite positive

[BenoîtL-21]

Bonjour à tous,
Je me heurte sans trouver la lumière au problème suivant :

Une suite (Un) définie par U0=-1, et pour n>0,

Montrer que pour tout n>0, Un est positif ou nul.

Par avance merci pour votre aide !!

[phyelec]

Par récurrence, sauf erreur de ma part cela fonctionne.

[BenoîtL-21]

Oui, je me doute qu'il faut le faire par récurrence, mais je ne vois pas du tout comment ça fonctionne ...

[phyelec]

Pour vérifier par récurrence une propriété :
1)La propriété ( ici ) est initialisée à partir du premier rang n >1, c'est-à-dire :

pour n=1 on a

donc la propriété est vraie n=1
2) hypothèse d’hérédité
3) Calculer

[phyelec]

une précision il faut démontrer que est positif.

[BenoîtL-21]

Oui, je suis bien d'accord, mais le problème est justement là, car entre l'expression de u(n) et celle de u(n+1), tout change.
Mon problème est donc de passer du rang n au rang n+1...

[phyelec]

transformez en une somme de 2 éléments, une pour k=n+1 et l'autre pour n allant de k=1 à n.

J'ai du mal à vous comprendre, vous êtres sauf erreur de ma part en études supérieures, vous ne montrez aucun de vos essais pour résoudre l'exercice. Le but du forum n'est pas de donner la solution mais d'aider à trouver la solution.
Sur votre prochain poste je vous demande de faire l'effort d'essayer et de me faire part de votre essai.

[BenoîtL-21]

J'écris :

et j'essaie de me ramener à u(n) pour utiliser mon hypothèse de récurrence :

donc :

puis :


Ca a l'air de marcher...
Merci de m'avoir poussé à expliquer mes idées, cela m'a permis de trouver la solution...
On se croirait dans le Ménon...

[phyelec]

Super, vous avez osez,c'est top et vous avez trouvé.

pour ma part j'avais pris un autre chemin pour trouver,le voici (sauf erreur de ma part) :



décomposition en 2 éléments,une pour k=n+1 et l'autre pour n allant de k=1 à n



une astuce pour faire apparaitre 1/n



on va faire apparaitre




donc



est positif car c'est l'hypothèse d’hérédité, donc est la somme de 2 termes positifs donc positif.

[catamat]

Bonjour Phyelec

Pourquoi, dans le sigma, l'indice n+1-k est il devenu n-k , alors que seule la borne supérieure du sigma a changé ?

décomposition en 2 éléments,une pour k=n+1 et l'autre pour n allant de k=1 à n

[phyelec]

Bonjour,

@catamat , parce que est une somme de terme. Le terme correspondant à la valeur k=n+1, est celui avec car pour k=n+1 , . Si le terme pour k=n+1 est extrait de la somme alors il ne reste que n termes donc k varie de 1 à n.

[catamat]

Ok je sais que k varie de 1 à n. mais, si tu modifies l'indice comme je le dis dans mon message, quand k prend la valeur n on obtient u_0 dans le sigma alors que ce terme a été sorti du sigma !
Il faut garder l'indice n+1-k dans le sigma ainsi quand k prend la valeur n, on obtient u_1 ce qui est bon.

[phyelec]

pour moi u1 est obtenu pour k=n-1

[catamat]

J'ai vérifié en particulier l'inégalité finale

Les coefficients dans les parenthèses où k varie de 3 à n+1 sont minorés par ceux trouvés précédemment
cela se vérifie en étudiant le signe de leur différence.

donc

ou en factorisant


il y a semble t il une toute petite erreur sur le terme constant du trinôme, -2 au lieu de -1 mais pour n supérieur à 1 c'est bon.

[catamat]

pour moi u1 est obtenu pour k=n-1

Certes mais ton indice va jusqu'à k !!
C'est la valeur k qui pose problème.

[phyelec]

oui, je vois ce que vous me dites et vous avez raison.