Une suite définie par une integrale.

[Pythales]

Bonsoir ! Voilà je bloque sur un exo dont voici l'énoncer :

Soit f : [0;1] -> R continue telle que f(0) = 0.
Montrer que

En fait je suis partie dans plein direction mais j'ai pas réussi a conclure. En passant par les définition de limite/continuité je m'y retrouve pas, ni avec des changement de variable.
J'ai proposer l'exo a une pote qui adore les maths mais n'a qu'un niveau terminale, et elle me dit "pourquoi ça marche pas de dire que t^n tend vers 0 donc f(t^n) tend vers f(0)=0 et donc le résultat ...

Ma première réponse c'est : parceque c'est trop facil xD mais en réalité je saurait même pas lui expliquer...

Déjà je prendrai avec plaisir des indices sur la résolution mais aussi pourquoi le solution de facilité ne fonctionne pas ?

Bien cordialement !

Si je pose il vient avec

[Mikihisa]

Oui, j'était arriver a la aussi, mais même en faisant tendre n vers l'infini, tu obtient f(x)/x et t'es pas plus avancé. Mais le problème c'est que tu ne prouve pas que la limite existe, ni même l'intégrale (c'est d'autant plus suspect vu que x^{(1/n)-1}.f(x) n'est pas définie sur [0;1] des lors que n>2). Il me semble d'ailleurs que pour faire un changement de variable il faut que les fonctions soient "bien" i.e. Définie, continue, dérivable sur tout I, et rien ne signifie que f est dérivable sur I.

Bref tant d'indice qui pousse a penser que cette méthode n'est pas la bonne :D

Par exemple

[Mikihisa]

Voici comment j'ai rédiger la conclusion :

Au final on a :
Pour tout 00,
Il existe tel que pour tout :


Posons , on vois que décrit ]0;+[ quand et M décrivent ]0;+[ et ]0;1[, donc on peux écrire :


Donc converge et

Je n'utilise pas la limite sup, ça m'a l'air pas mal en fait, le fait que eM+(1-M)suf|f| décrit ]0;+infty[ donne la définition même de la limite, en l'écrivant il ne m'a donc pas emblée nécessaire de parler de limite sup.

Merci pour ton aide encore une fois

[Pythales]

Bonsoir ! Voilà je bloque sur un exo dont voici l'énoncer :

Soit f : [0;1] -> R continue telle que f(0) = 0.
Montrer que

En fait je suis partie dans plein direction mais j'ai pas réussi a conclure. En passant par les définition de limite/continuité je m'y retrouve pas, ni avec des changement de variable.
J'ai proposer l'exo a une pote qui adore les maths mais n'a qu'un niveau terminale, et elle me dit "pourquoi ça marche pas de dire que t^n tend vers 0 donc f(t^n) tend vers f(0)=0 et donc le résultat ...

Ma première réponse c'est : parceque c'est trop facil xD mais en réalité je saurait même pas lui expliquer...

Déjà je prendrai avec plaisir des indices sur la résolution mais aussi pourquoi le solution de facilité ne fonctionne pas ?

Bien cordialement !

Une autre méthode ?

Ecrire que
On peut déterminer pour minimiser la 2ème intégrale.
Pour la 1ère, écrire :
car
d'où la conclusion