Une suite de Cauchy dans R

[JeanF]

Bonjour,
J'aimerais un coup de pouce sur la question 2) de l'exercice suivant.
Soient et des réels quelconques, et pour tout entier naturel n tel que , on pose : .

J'ai montré que pour tout , on a : et que, pour tout entier , on a :



Je bloque maintenant pour la question suivante :

Montrer que pour tout et tout tel que , est compris entre et .
Bon clairement, il faut utiliser la dernière égalité démontrée... mais bon, je tourne en rond.
Je cherche à comprendre "Pourquoi le n+2 ?".

Une indication ne serait pas de refus !
Merci beaucoup !

[JeanF]

Ahh...
Suis-je sur la bonne voie ?
Au départ, est entre et . Et on peut supposer que jusqu'à un certain rang n, les termes sont entre et .
Comme alors et sont entre et , alors il en est de même de .
Je peux le démontrer par récurrence.
Par contre, pourquoi ?

[JeanF]

Je pense avoir compris!

[JeanF]

Alors maintenant, je cherche comment démontrer que la suite est de Cauchy.
Je pars comme cela : soit et p et q deux entiers naturels tels que .
On cherche à montrer qu'il existe un N entier naturel tel que, pour tout , .

On sait que pour tout n, et que, pour tout n et r tel que , est compris entre et .

Des pistes ? Merci !