Une somme

[mathelot]

Bonsoir,
on appelle la suite constituée des racines strictement positives de l'équation
tan(x)=x

Que vaut



?

[pascal16]

si les angles sont en radians, vu que pour k très grand, on a que xk vaut à peu près pi/2+k.pi, la somme semble converger.

[mathelot]

Ce qui est demandé c'est sa valeur

[Lostounet]

Ce qui est demandé c'est sa valeur

C'est une belle question ! La réponse est apparemment 1/10 (un peu inattendu...)

Un cheminement pour y arriver (une fois qu'on aurait montré la convergence de la série, ce qui est facile par simple majoration avec la série de TG 1/n^2) est d'avoir recours au théorème de factorisation de Hadamard.
Tu peux lire une réponse très détaillée ici: https://math.stackexchange.com/question ... e-n-textth

En définissant:
f(z) = tan(z) - z pour tout z non nul.
Résoudre f(z) = 0 revient à résoudre f(z) = sin(z)/z - cos(z)

f est une fonction prolongeable par holomorphie en z=0 et on peut localiser ses zéros qui sont en fait réels (soit comme fait l'auteur explicitement, soit par exemple en regardant un contour carré centré en l'origine de coté 2*pi*k avec k entier)
La méthode est de faire le DL de Taylor en l'origine de f(z) et de l'identifier avec les termes de sa factorisation de Hadamard.

(Je n'ai pas relu tous les points mais l'idée parait cool si ça tient?). Qu'en pensez-vous.

Maintenant, que vaut la série des

[mathelot]

merci, je regarde