DL d'une somme de Riemann

[Charmander]

Bonjour,

On pose, pour tout n entier naturel:


C'est un somme de Riemann avec une subdivision régulière de pas
Voilà ce que je dois en faire:
- calculer un développement limité à l'ordre 1 de lorsque n tend vers
- En déduire un développement limité à l'ordre 2 de la méthode des tangentes

Je vois plus ou moins le rapport entre la méthode des tangentes et cette somme, mais je n'arrive pas à calculer le développement limité de ... Il s'agit de trouver un équivalent de

Comment m'y prendre ? Si quelqu'un pouvait m'aider... Merci !

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, si tu veut que ça se fasse "agréablement", il faut des hypothèses sur f.
Déjà, pour que la somme de Riemann converge effectivement fvers l'intégrale de f, il faut supposer des trucs (par exemple que f est continue sur [a,b]).

Après, pour mesurer l'erreur commise lorsque l'on a approximé par , il me semble que le plus simple est d'utiliser une des formules de Taylors à l'ordre 2 à une primitive F de f, mais ça présuppose que la fonction est dérivable sur l'intervalle [a,b]...

Conclusion : ça peut être... plus ou moins façile... selon les hypothèses que l'on se donne sur f (et sans hypothèses, on ne risque pas de faire quoi que ce soit vu qu'aussi bien les sommes de Riemann ne convergent pas vers l'intégrale...)

Le plus agréable est sans doute d'avoir comme hypothèse que f est dérivable sur [a,b] et que la dérivée est bornée sur [a,b] (ce qui est automatiquement vrai si on suppose f de classe C1 sur [a,b])

[Charmander]

Bonjour,

Oui désolé, en effet f est C1 j'avais oublié de le préciser...

[Ben314]

Dans ce cas, il n'y a pas de difficultés :
Tu écrit que, si on pose (pour allèger...) :

où F est une primitive de f.

Un développement de Taylors à l'ordre 2 de au voisinage de permet de majorer le truc dans la parenthèse.