Une solution pour ce probleme de denombrement??

[shbk]

Bonjour,

quelqu'un aurai-t-il une solution mathématique à proposer au problème de dénombreent suivant:

Soit un ensemble A={a1,a2,a3} et un autre ensemble B={b1,b2,b3}.

Je voudrais savoir combien de possibilités j'ai de former des couples ab sachant que je ne peux utiliser qu'une seule fois chaque élément de A et de B et qu'il faut les utiliser tous.

Si A et B ont trois éléments, j'aurai :
a1b1, a2b2, a3b3
a1b1, a2b3, a3b2
a1b2, a2b1, a3b3
a1b2, a2b3, a3b1
a1b3, a2b1, a3b2
a1b3, a2b2, a3b1

soit ici six combinaisons.

Si A={a1,a2} et B={b1,b2}, j'aurai
a1b1, a2b2
a1b2, a2b1

soit deux combinaisons.

Quelle formule mathématique je dois utiliser pour compter les différentes combinaisons en fonction du nombre d'éléments dans les ensembles A et B.

Merci d'avance

[shbk]

Je rajoute qu'empiriquement je trouve que si n est le nombre d'élément dans l'ensemble A ou B, il y a n paires de n! combinaisons.

Es-ce exact ou non, et comment le prouver?

[mathador]

Bonjour, je ne sais pas si ma réponse sera très claire, mais je vais faire de mon mieux ...
On considère a1. L'élément de B qu'on peut lui associer est b1 ou b2 ou ... ou bn (de l'amour à croquer, comme dit la pub). On a donc n possibilités.
Ensuite, pour a2, on a n-1 possibilités, qui dépendent de l'élément de B choisi pour a1.
Pour a3, il reste n-2 possibilités , etc...
Finalement, il me semble que le nombre de possibilités est n! où card A = card B = n.
Si n=1 ; n! = 1 ce qui est logique : on peut former un et un seul couple.
Si n=2 ; n! = 4 et on retrouve ce que tu avais dit
Si n=3 ; n! = 6 , idem...
Ce qui me conforte dans cette réponse.
Bonne continuation

[shbk]

Merci de t'etre penché sur le problème.

Le problème exposé précédemment concerne un calcul de distance. Je ne sais pas si je fais bien ou pas mais je voudrais calculer la distance entre les éléments des deux ensembles pour chercher la distance minimum et apparier les éléments de A avec ceux de B. Je continue donc à exposer mon problème.

Je calcule la distance entre les ai et les bi par les combinaisons ecrites dans le premier message, soit :



Au niveau informatique, je voudrais générer automatiquement les indices des b_i pour obtenir, par exemple pour n=3 :
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
qui sont les indices des b_i à soustraires aux a_i. Il s'agit de compter de 1 2 ... n à n ... 2 1 et en rejetant les cas où j'ai un indice doublé. C'est pas pratique car il faut compter, transformer en une chaine de caractère, faire une recherche dans la chaine de caractère pour voir s'il n'y a pas d'indice doublé. A la limite ça c'est faisable mais quand n est supérieur à 9 on ne peut plus compter en base 10. Il faudrait compter dans une base n+1 (mes indices vont de 1 à n) et là ça devient vraiment casse-pieds.

Je pourrais aussi utiliser des boucles imbriqués et des tests mais là aussi il faudrait autant de boucles que n et enormement de tests. Pour n=3, cela donnerait :

int n=4;
for (int u=1;u<n;u++)
for (int v=1;v<n;v++)
for (int w=1;w<n;w++)
if ((u!=v) && (u!=w) && (v!=w))
{
Retenir (u,v,w);
}

Quelqu'un aurait-il une autre idée pour remplir ce tableau de manière automatique?