Une réciproque
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nada-top
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par nada-top » 11 Sep 2006, 23:15
bonsoir,
voilà je sais que cette question c'est pas niveau sup mais bon c'est plus calme ici :lol5:
on a la fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$f\;:\;x \rightarrow \frac{cos(x)}{sin(a+x)} \;\; \tex{tq} \;\;a\in \left]0 , \frac{\pi}{2}\right[)
soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?g)
la restriction de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f)
sur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?I = ]-a\; , -a+\pi[)
d'abord il est demandé de prouver que g est bijective de I dans J , puis de déterminer J . bon j'ai prouvé ça et je trouve
maintenant je cherche la réciproque ... je crois qu'il faut distinguer des cas mais bon je suis toujours à la recherche ..
si qqn a une piste ou une idée pour simplifier la tâche :happy2:
merci :lol3:
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nada-top
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par nada-top » 12 Sep 2006, 10:45
même pas un bonjour en passant ..:lol2:
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rene38
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par rene38 » 12 Sep 2006, 11:21
Bonjour
Peut-être en écrivant
![Image](http://www.maths-forum.com/images/latex/3e836bc6563c121d98c15ad5aaf5d39f.gif)
et en utilisant la formule d'addition :
d'où
![Image](http://www.maths-forum.com/images/latex/f8c331c69b41996dd7f45b105ada7e46.gif)
(c'est
![Image](http://www.maths-forum.com/images/latex/b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)
au lieu de
![Image](http://www.maths-forum.com/images/latex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
)
qui se simplifie en :
![Image](http://www.maths-forum.com/images/latex/24c28f6b1b9443acc4164d5a52ed2a40.gif)
Reste à exprimer
![Image](http://www.maths-forum.com/images/latex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
en fonction de
![Image](http://www.maths-forum.com/images/latex/415290769594460e2e485922904f345d.gif)
en gardant en mémoire que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\cos(a))
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sin(a))
sont des constantes.
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Flodelarab
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par Flodelarab » 12 Sep 2006, 11:22
Bonjour!
Moi je suis passé mais après avoir lu et relu, je n'ai pas trouvé l'expression dont tu cherches à prouver la réciproque.
Peux tu m'eclairer ?
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nada-top
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par nada-top » 12 Sep 2006, 11:44
Bonjour,
Merci rene38 mais j'ai déjà simplifié l'expression en passant par d'autres pistes et je trouve
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$tan(y) = \frac{1-xsin(a)}{x cos(a)})
cela biensur avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x \neq 0)
, pour le cas
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x = 0)
,
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y= \frac{\pi}{2})
i.e
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?g^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}.)
.
maintenant avant de conclure il me reste à étudier des cas :hein:
Flodelarab -- je cherche la réciproque de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?g \;:\; x \rightarrow \frac{cos(x)}{sin(a+x)})
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Flodelarab
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par Flodelarab » 12 Sep 2006, 12:19
nada-top a écrit:Bonjour,
Merci rene38 mais j'ai déjà simplifié l'expression en passant par d'autres pistes et je trouve
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$tan(y) = \frac{1-xsin(a)}{x cos(a)})
cela biensur avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x \neq 0)
, pour le cas
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x = 0)
,
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y= \frac{\pi}{2})
i.e
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?g^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}.)
.
maintenant avant de conclure il me reste à étudier des cas :hein:
Flodelarab -- je cherche la réciproque de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?g \;:\; x \rightarrow \frac{cos(x)}{sin(a+x)})
ahhhhhhhh, la fonction réciproque!
Je cherchais la proposition réciproque :marteau:
Ben je vois pas ou est le pb.
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ y = g(x) = \frac{cos(x)}{sin(a+x)} = \frac{cos(x)}{sin(a)cos(x)+cos(a)sin(x)} = \frac{1}{sin(a)+cos(a)tan(x)})
donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ y = \frac{1}{sin(a)+cos(a)tan(x)})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ \frac{1}{y} = sin(a)+cos(a)tan(x))
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ \frac{1}{y} -sin(a) = cos(a)tan(x))
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ \frac{1}{y.cos(a)} -tan(a) = tan(x))
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$ Arctan(\frac{1}{y.cos(a)} -tan(a)) = x)
non ?
(Je mets a part tous probleme d'intervalle ou c valable. Faut vérifier)
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nada-top
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par nada-top » 12 Sep 2006, 12:34
oui et c'est ce que je trouve :
1er cas : x = 0 donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?g^{-1}(x) = \frac{\pi}{2})
les cas qui restent on travaille avec :
et c'est ce que tu trouve mais moi j'ose pas conclure la réciproque si facilement .
(Je mets a part tous probleme d'intervalle ou c valable. Faut vérifier)
mais justement c'est ça le probleme .
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nada-top
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par nada-top » 12 Sep 2006, 13:01
Eurika :lol5:
non je rigole ...voilà je trouve ça :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$g^{-1}(x) = \left\{<br /> \begin{array}{ll}<br /> Arctan\left(\frac{1-xsin a}{x cos a}\right)\;\;\; \tex{tq} \; x > 0\\<br /> \frac{\pi}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \tex{tq}\; x=0\\<br /> \pi + Arctan\left(\frac{1-x sina}{x cos a}\right) \; \tex{tq}\; x<0\\<br /> \end{array}<br /> \right.)
(sauf erreursss)
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Flodelarab
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par Flodelarab » 12 Sep 2006, 14:39
Je pense plutot que la barrière c'est a. Et pas 0.
non?
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nada-top
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par nada-top » 12 Sep 2006, 15:04
non?
oui
en fait c'est ce que je trouve ... j'ai le flemme de mettre mon raisonnement mais bon pourquoi tu vois que c'est a :doh:
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Flodelarab
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par Flodelarab » 12 Sep 2006, 15:21
Grossièrement, on peut dire que:
l'Arctan attérit dans ]-Pi/2;Pi/2[
Mais nous on veut ]-a;-a+Pi[ qui est toujours de "taille" Pi
ya qu'a moduloïser les valeurs qui tombent a coté.
C pas pasqu'on a un y=g(x) négatif que l'arctan ne nous donne pas le bon x
si y=g(x) est positif, on retombe dans l'intervalle. Ok.
Si y=g(x) est négatif, si x< (-a) alors on rajoute Pi. Sinon, on laisse
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