Une question sur intégrale

[mimi59]

bonsoir,

je me pose juste une petite question sur l'intégrabilité:

l'équivalence suivante:" f est intégrable sur I si et seulement si module de f est intégrable sur I" est bien vraie si f est une fonction à valeurs complexes?

je me demandais si cette autre équivalence était vraie,mais on m'a dit que non : "f est intégrable si et seulement si valeur absolue de f est intégrable sur I" avec f à valeurs réelles.
il faut en effet que f soit à valeurs réelles positives. on m'a parlé d'intégrale semi-convergente. est-ce la même chose qu'intégrale impropre? auriez vous un exemple d'intégrale semi-convergence à me proposer s'il vous plaît?

[Joker62]

en faite, une fonction à valeur complexe peut s'écrire comme

f = f1 + i*f2;

Donc intégrale de |f| converge si et seulement |f1| et |f2| convergent

Pour ce qui est d'une intégrale semi-convergente, c'est une intégrale qui converge et qui diverge quand on prend la valeur absolue

exemple f(x) = sin(x)/x

[mimi59]

ok!
merci beaucoup Joker62! :++:

[yos]

l'équivalence suivante:" f est intégrable sur I si et seulement si module de f est intégrable sur I" est bien vraie si f est une fonction à valeurs complexes?

je me demandais si cette autre équivalence était vraie,mais on m'a dit que non : "f est intégrable si et seulement si valeur absolue de f est intégrable sur I" avec f à valeurs réelles.

Bonjour.
Oui c'est toujours vrai (et si c'est vrai dans le cas complexe, c'est évidemment vrai dans le cas réel, le module devenant la valeur absolue).
Après il y a des fonctions pas intégrables mais dont l'intégrale converge, comme par exemple (sin x)/x.

[mimi59]

d'accord! merci Yos! c'est bizarre,on m'a soutenu que pour la 2ème équivalence il fallait que la fonction soit à valeurs réelles positives.

en fait,c'était sur la démo du théorème suivant:
Soient f et g fonction définies et continues de [a,b[ ,à valeurs réelles. Si f est dominée par g au voisinage de b et g est intégrable sur [a,b[ alors f est intégrable sur [a,b[

on m'a demandé de rajouter f etg à valeurs réelles positives pour que ce théorème soit correct.

pour la démo, une fois arrivée à abs(f)<(ou=) k*abs(g)
j'avais dit que g étant intégrable sur [a,b[ alors abs(g) est intégrable sur [a,b[ et pour la suite c'était évident.

Qu'en pensez vous? il faut que les fonctions soient à valeurs réelles ou valeurs réelles positives??
merci d'avance

[yos]

Ton argument est juste et cela sans ajouter l'hypothèse que g est positive.
Par contre si tu veux le résultat plus fort , je pense qu'il faut la positivité de g.

[mimi59]

ok!merci bien Yos! :happy3: