Une (quasi) équation différentielle

[ffpower]

Soit c un réel. Quelles sont les fonctions f dérivables bornées de R dans R telle que :


Le résultat est assez amusant..

[Nightmare]

Salut,

l'espace des solutions est stable par translation donc a priori contenu dans l'espace des solutions d'une équadiff linéaire, mais de quel ordre?

[Ben314]

Bon, je fait (honteusement) remonter le "bidule" à la surface du fait que ça fait 1/2 heure que je suis dessus et que je rame...

1) J'ai un peu pensé au transfo. de Laplace, mais ça me conduit à... rien

2) Une telle fonction est C^infinie et même entière (analytique avec R=infini) à l'aide de Taylors-Machin, mais ça conclue pas grand chose...

3) Dés le début, le premier truc qui m'est venu, c'est les
f(x)=lambda.sin(a.x+b) qui marchent lorsque a=a_k=(4k+1)Pi/(2c) [donc période=4c/(4k+1) donc en particulier 4c...] sauf que ça fait un e.v. de dim infini (car période aussi petite que l'on veut) donc, pour l'idée de Nightmare, ça parrait foutu.

Sauf que l'e.v. des solutions trouvées au 3) n'est pas fermé (pour une topo utilisant les dérivées) : on peut prendre une série de fonctions lambda_k.sin(a_k.x+b) et ça commence fort à ressembler à des séries de fourier (de fonctions 4c-périodiques ne contenant que des termes "en 4k+1")

Je pense que je commence vaguement à m'approcher ????

[ffpower]

Revoie ton calcul, car si je regarde la forme de tes solutions, par exemple pour lambda=0 et k=1, ca donne f(x)=sin(pi*x/(2c)), et ca c'est en général pas solution sauf c particulier.. ( je crois que tu t'es trop occupé de la fréquence et que tu en as oublié de vérifier l'amplitude des solutions..)

Donc à vrai dire pour l'instant, Night est plus proche que toi pour la forme des solutions :zen:

[Ben314]

Effectivement, je suis même pas foutu de dériver sin(ax+b) sans me gourrer..... :cry:

[AceVentura]

Voir le problème d'agrégation :
http://www.lyc-hoche-versailles.ac-versailles.fr/maths/upsmaths/BULLETIN/BULT1996/M96BD2E.PDF

[ffpower]

Ah tiens, cette equation est tombée a l agreg?lol
Par contre ca ne semble pas être le même contexte ( ie f bornée ). Ca traite juste du cas periodique (facile), puis un cas bizarre :)

[Doraki]

T'avais pas déjà donné un exo qui parlait des fonctions dont toutes les dérivées étaient uniformément bornées (ce qui est le cas ici) ?

[ffpower]

Bien vu, c'était à partir de ça que j'avais inventé cet exo d'ailleurs :zen:

Je rappelle l'énoncé : si toutes les dérivées de f sont inferieures à 1, et f'(0)=1, alors f=sin

On peut ici facilement se ramener à cet énoncé si on montre que f ( et donc f' ) atteint son max. Mais a vrai dire, j'ai pas réussi à le montrer, et je suis finalement passer par une tout autre méthode qui est conceptuellement plus simple ( pas de fonctions holomorphes et donc pas de résidus sortis de nulle part :) )

Mais ça peut effectivement être une piste à explorer