Une propriété d'Algère général, trop jolie.

[Arbre]

Salut,



Cordialement.

[Matt_01]

Si on note w une racine de (qui n'a pas de racine double) on a :


En écrivant , on obtient (via le changement d'indice k <- 2n+1-k).
Donc ce qui permet de conclure le résultat.

[Arbre]

oui, bravo.

J'aimerais savoir, si d'autres diviseurs sont connues, manière de pouvoir avoir une forumule clause pour cette somme.

[Viko]

Pour la formule clause de la somme il me semble avoir trouvé une formule plutôt intéressante mais il reste du travail à effectuer dessus et je ne suis pas sûr qu'on puisse arriver au bout :

[Arbre]

Ta formule (si elle est juste) est aussi longue que celle de départ, donc cela semble avoir un intêret restreint.

[Viko]

note bien que au départ il y a un carré dans la puissance ce qui pose problème (sinon on aurait pu simplement utiliser la formule de pour les termes successifs d'une suite géométrique) alors que à la fin il n'y en a plus de plus j'imagine qu'il existe des formules pour évaluer les sommes de fonctions Gamma donc on ne doit plus être trés loin du résultat malheureusement j'ai bac dans 2h du coup je ne peux pas chercher plus longtemps mais libre à toi de continuer de ton côté ^^

[Lostounet]

j'imagine qu'il existe des formules pour évaluer les sommes de fonctions Gamma donc on ne doit plus être trés loin du résultat

Euh.. Tu trouves que sommer des puissances entières (carrés) de a compliqué mais une somme de fonction gamma puissance ln(a) plus facile ? :p

Saurais-tu déjà calculer Gamma(1/2) ? Pas super facile !
En revanche exprimer les Gamma(k+1/2) en fonction des Gamma(k+1/2) d'avant est faisable par une IPP

[Viko]

Oui, Gamma(1/2) = racine de pi il me semble. J'avais fait la démonstration ya qlq mois mais je t'avoue ne pas m'en souvenir exactement je crois qu'il faut passer par une gaussienne mais je ne suis plus sûr enfin bref..Je suis d'accord que passer d'une bête somme d'entier à une somme de fonction de gamma peut paraître pas très judicieux mais j'ai l'intuition (rien de très mathématiques..) que sa peut fonctionner car comme tu l'a dit Gamma(k+1/2) et Gamma(k) sont intimement liés et comme k est un entier je pense qu'après un simple passage de Gamma(k) à (k-1)! on devrait pouvoir s'en sortir sans trop de problème mais comme je l'ai dit le bac d'anglais m'attends donc je n'ai pas trop le temps de faire sa maintenant ^^

[Arbre]

@Viko : a-t-on ?

Si, oui, pourquoi ?

[Viko]

Oui j'ai lu un papier qui parlait ce truc c'est bien vrai, par contre il va falloir me donner un peu de temps pour que je réfléchisse à une démonstration digne de ce nom avec une "double récurrence" (on montre que l'égalité est vrai pour n = 0 et pour tout m puis aprés on fait une récurrence classique sur n) sa marcherait non ?

[Arbre]

Possible, mais mon explication n'utilise pas cette méthode (double récurrence)

[Viko]

Oui aprés la "double récjrrence c'est une méthode un peu bourrine il doit y avoir plus efficace et bien plus élégant, je serais curieux de voir la démonstration que tu as fait de ton côté ^^

[Arbre]

Bon courage pour le bac.

[Viko]

merci

[Viko]

@arbre il y'a un pbl avec ton égalité je viens de trouver une infinité d'entier qui ne la vérifie pas !

[Arbre]

Donne 2 exemples, merci.

PS : j'ai modifié mon résultat, il y avait une coquille.

[Viko]

pour m = n = 1 et X = 5 par exmple on a :
de plus donc
et je ne te fais pas l'affront de t'expliquer pourquoi

plus géneralement tel que n = m l'égalité :

n'est pas vérifié !

EDIT : oui maintenant que tu l'a modifié sa marche en effet (enfin je crois)

[zygomatique]

on suppose m < n et on note d le pgcd de m et n puis on pose m = du, n = dv avec pgcd (u, v) = 1 et enfin w = v - u

si P divise les polynomes et alors il divise leur différence



évidemment P ne contient pas de puissance de x donc P divise

or la différence de ces deux facteurs est 2 donc ces deux facteurs sont premiers entre eux

donc P divise ou divise

....